Скачать fb2
(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

Аннотация

    В книге «(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» Млодинов запросто знакомит всех желающих с теорией вероятностей, теорией случайных блужданий, научной и прикладной статистикой, историей развития этих всепроникающих теорий, а также с тем, какое значение случай, закономерность и неизбежная путаница между ними имеют в нашей повседневной жизни.
    Эта книга — отличный способ тряхнуть стариной и освежить в памяти кое-что из курса высшей математики, истории естественнонаучного знания, астрономии и статистики для тех, кто изучал эти дивные дисциплины в вузах; понятно и доступно изложенные основы теории вероятностей и ее применимости в житейских обстоятельствах (с многочисленными примерами) для тех, кому не посчастливилось изучать их специально; наконец, профессиональный и дружелюбный подсказчик грызущим гранит соответствующих наук в данный момент.


(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

    Посвящается трем чудесам случайности:
    Оливии, Николаю и Алексею...
    а также Сабине Якубович

Как случай управляет нашей жизнью

    Несколько лет назад один испанец выиграл в национальную лотерею; номер его билета заканчивался цифрой 48. Гордясь своим «достижением», испанец поведал о том, как ему удалось так разбогатеть. «Семь ночей подряд мне снилась семерка, — сказал он, — а семью семь и есть сорок восемь»{1}. Те, кто лучше помнит таблицу умножения, наверняка хмыкнут: испанец-то ошибся, но у всех нас формируется собственное видение мира, через которое мы пропускаем наши ощущения, обрабатываем их, выуживая смысл из океана информации в повседневной жизни. И при этом часто ошибаемся, причем ошибки наши, пусть и не такие очевидные, как у этого испанца, бывают не менее значимы.
    О том, что в ситуации неопределенности от интуиции проку мало, было известно еще в 1930-х гг.: исследователи заметили, что люди не способны ни выстроить последовательность чисел, которые подходили бы для математических критериев случайности, ни точно сказать, был ли ряд чисел выбран случайно. За последние десятилетия возникла новая научная дисциплина, изучающая формирование у человека суждения, принятие им решений в условиях неполной, недостаточной информации. Исследования показали: там, где дело касается случая, мыслительный процесс человека дает осечку. Задействованы были самые разные отрасли знаний: от математики до традиционных наук, от когнитивной психологии до бихевиористской экономики и современной нейробиологии. Но хотя недавно результаты исследований и были отмечены Нобелевской премией (по экономике), в целом они так и не стали достоянием широкой общественности, не вышли за рамки академических кругов. Данная книга — попытка исправить положение. В ней пойдет речь о принципах, которые лежат в основе случайности, об их развитии, о том, как они сказываются на политике, бизнесе, медицине, экономике, спорте, досуге и прочих областях нашей жизни. Помимо этого в книге говорится о том, как именно человек делает свой выбор, о процессах, которые вынуждают человека в ситуации случайности или неопределенности приходить к ошибочному суждению и принимать на его основании бестолковые решения.
    Недостаточность данных невольно порождает противоречивые объяснения. Именно поэтому так непросто было подтвердить факт глобального потепления, именно по этой причине наркотики, случается, сначала объявляют безопасными, а потом объявляют вне игры, и, скорее всего, именно из-за этого не каждый согласится с моим наблюдением: шоколадно-молочные коктейли — неотъемлемая часть укрепляющей сердце диеты. К сожалению, ложная интерпретация данных приводит к многочисленным отрицательным последствиям, как крупным, так и мелким. К примеру, и врачи, и пациенты часто неправильно воспринимают статистические данные по эффективности лекарств и важности медицинских испытаний. Родители, преподаватели и студенты неправильно оценивают важность экзаменов как нечто вроде проверки способности к обучению, а дегустаторы, оценивая вина, совершают одни и те же ошибки. Инвесторы, основываясь на показателях паевых инвестиционных фондов за определенный период, приходят к неверным заключениям.
    В мире спорта широко распространено убеждение, основанное на интуитивном опыте соотнесения: победа или поражение команды по большей части зависит от профессиональных качеств тренера. В итоге после проигрыша команды тренера часто увольняют. Однако результаты недавнего математического анализа свидетельствуют о том, что в общем и целом увольнения эти на характер игры не влияют — незначительные улучшения, достигаемые сменой тренеров, обычно перекрываются имеющими случайный характер изменениями в игре отдельных игроков и всей команды{2}. То же самое происходит и в мире корпораций: считается, что генеральный директор обладает сверхчеловеческими способностями, может создать или разрушить фирму, но на примере таких компаний, как «Кодак», «Люсент», «Ксерокс», снова и снова убеждаешься — власть обманчива. В 1990-х гг. Гари Вендт считался одним из самых успешных деловых людей, он управлял «Дженерал Электрик Капитал», во главе которой стоял Джек Уэлч. Когда Вендта взяли в «Консеко» улучшить тяжелое финансовое положение компании, он запросил 45 млн долларов, напирая на свою репутацию. За год акции компании выросли втрое — инвесторы были полны оптимизма. Через два года Вендт внезапно уволился, «Консеко» обанкротилась, акции же сбыли за бесценок{3}. Что, Вендту досталась невыполнимая задача? Может, он потерял интерес к делу, вдруг загорелся желанием стать первым среди профессионалов по боулингу? Или Вендта короновали, исходя из сомнительных предположений? Основанных, к примеру, на том, что управленец обладает практически абсолютными способностями влиять на компанию. Или что единичный успех в прошлом служит надежной гарантией достижений в будущем. Как бы там ни было, невозможно дать однозначные ответы на эти вопросы, не владея всей ситуацией. К этому примеру я еще вернусь, причем, что гораздо важнее, расскажу о том, что необходимо для распознавания признаков случайности.
    Непросто плыть против течения человеческой интуиции. Мы еще убедимся в том, что человеческий ум устроен определенным образом — для каждого события он ищет вполне определенную причину. И ему сложно учесть влияние факторов не соотносимых или же случайных. Таким образом, первый шаг — это осознание того, что успех или неудача порой оказываются результатом не исключительных способностей или полного их отсутствия, а, как выразился экономист Армен Алчиан, «случайных обстоятельств»{4}. И хотя случайные процессы лежат в основе устройства природы и где только ни встречаются, большинство людей их не понимает и попросту не придает им значения.
    Название последней главы книги, «Походкой пьяного», происходит из математического термина, описывающего случайные траектории, например, пространственное движение молекул, беспрестанно сталкивающихся со своими собратьями. Это своеобразная метафора нашей жизни, нашего пути из колледжа вверх по карьерной лестнице, от холостяцкой жизни к семейной, от первой лунки на поле для гольфа до девятнадцатой. Удивительно то, что метафора эта применима и к математике — математика случайных блужданий и способы ее анализа могут пригодиться и в повседневной жизни. Моя задача состоит в том, чтобы пролить свет на роль случая в окружающем нас мире, продемонстрировать, как можно распознать его действие, чтобы глубже проникнуть в суть бытия. Надеюсь, что после этого путешествия в мир случайностей читатель увидит жизнь в новом свете, лучше поймет ее.

Глава 1. ПОД ЛУПОЙ СЛУЧАЙНОСТИ

    Помню, как подростком во время шаббата я глядел на желтые языки пламени — они беспорядочно танцевали над белыми цилиндрами парафиновых свечей. Я был слишком мал, чтобы думать о какой-то там романтике при свечах, но все равно пламя завораживало — его мерцание рождало всевозможные причудливые образы. Образы перемещались, сливались, росли и уменьшались, причем все это происходило без очевидной причины или какого-то там плана. Конечно же, я подозревал в основе движений пламени некий ритм, замысел, некую модель, которую ученые способны предсказать и объяснить с помощью математики. «Жизнь — она совсем другая, — сказал мне тогда отец. — Бывает, случается такое, что никак не возможно предугадать». Отец рассказал мне о тех временах, когда сидел в Бухенвальде, нацистском концентрационном лагере. Заключенных держали впроголодь; как-то отец украл из пекарни буханку хлеба. По настоянию пекаря гестаповцы собрали всех, кто мог совершить такое преступление, выстроив в ряд. «Кто украл хлеб?» — спросил пекарь. Никто не признался, и тогда пекарь сказал охранникам, чтобы те расстреливали одного за другим — до тех пор, пока не расстреляют всех или пока кто-нибудь не сознается. И отец, спасая остальных, шагнул вперед. Рассказывая, он совсем не пытался выставить себя героем, — расстрел грозил ему в любом случае. Но пекарь неожиданно оставил отца в живых, более того — сделал его своим помощником, а это тепленькое местечко. «Случайность, не более того, — сказал мне отец. — И к тебе она не имеет никакого отношения, однако повернись все иначе, ты бы никогда не появился на свет». Мне тогда пришло в голову: получается, именно Гитлеру я обязан своим существованием — фашисты убили жену и двоих младших детей моего отца, уничтожив его прошлое. Если бы не война, отец не эмигрировал бы в Америку, не познакомился бы в Нью-Йорке с моей матерью, такой же беженкой, и не произвел бы на свет меня и двоих моих братьев.
    Отец редко вспоминал о войне. Я тогда не отдавал себе отчета, почему, однако со временем понял: каждый раз, когда отец рассказывал о перенесенных ужасах, он делал это не для того, чтобы просветить меня, он пытался сообщить мне о жизни нечто гораздо большее. Война — событие экстремального характера, однако случай проявляет себя отнюдь не в моменты крайностей. Контуры наших жизней, как и пламени свечи, постоянно меняются, испытывая воздействие самых разных случайных событий, которые вместе с нашей реакцией на них определяют наши судьбы. Выходит, ход жизни сложно предсказать и объяснить. Примерно так же, глядя на пятно Роршаха[1], вы увидите Мадонну, а я — утконоса. Информацию деловую, правовую, медицинскую, спортивную, печатных изданий, те же оценки вашего третьеклассника можно понять по-разному. И все-таки, не в пример пятну Роршаха, истолковывая роль случая, можно пойти по пути правильному и неправильному.
    Зачастую в ситуации неопределенности человек оценивает или делает выбор благодаря задействованным интуитивным процессам. Процессы эти с точки зрения эволюции — безусловный шаг вперед: человеку приходилось спешно решать, улыбается ли саблезубый тигр, сытый и довольный, или скалится с голодухи, присматриваясь к человеку перед собой как к потенциальному блюду на обед. Но в современном мире иная расстановка сил, и эти самые интуитивные процессы пробуксовывают. Когда человек оказывается перед лицом современных «тигров», привычные для него способы мышления могут оказаться далеко не оптимальными, а то и вообще неуместными. Этому не удивляются те, кто изучает реакции мозга на неопределенность: многочисленные исследования указывают на тесную связь между зонами человеческого мозга, отвечающими за оценку ситуации неопределенности, и зонами, отвечающими за реакции, которые часто считают наиболее иррациональными, — за эмоции. К примеру, функциональная магнитно-резонансная томография показывает, что риск и ожидаемое вознаграждение оцениваются подсистемами дофаминэргической системы мозга — медиаторной системы, играющей важную роль в обеспечении мотивационных и эмоциональных процессов.{5} Томография также показывает, что миндалевидная железа, помимо прочего связанная с эмоциональным состоянием человека, включается, когда человек принимает решения в ситуации неопределенности{6}.
    Механизмы анализа ситуации с элементами неопределенности довольно сложны для понимания и возникли в процессе эволюции и не без влияния особым образом устроенного мозга человека, его личного опыта, знаний и эмоций. В действительности реакция человека на неопределенность настолько сложна, что иногда различные структуры в мозге приходят к различным выводам и, по всей видимости, конфликтуют между собой, оспаривая главенство. Например, каждые три раза из четырех, когда вы едите аппетитные креветки, у вас лицо раздувает раз в пять против его нормального состояния; в таком случае «логическое» левое полушарие вашего мозга попытается вывести закономерность. С другой стороны, «интуитивное» правое полушарие просто-напросто скомандует: «Держись от креветок подальше!». По крайней мере, именно к таким выводам пришли исследователи в результате менее болезненных экспериментов. Называется это увлекательное занятие вероятностным прогнозированием. Вместо возни с креветками и гистамином вам демонстрируют набор карточек или световые сигналы: зеленые или, скажем, красные вспышки. Устроено все таким образом, что цвета появляются в произвольном порядке, но в любом случае без всякой закономерности. Например, красный может загораться в два раза чаще, чем зеленый, в последовательности вроде: красный-красный-зеленый-красный-зеленый-красный-красный-зеленый-зеленый-красный-красный-красный и т. д. Задача испытуемого в том, чтобы после некоторого времени наблюдений угадать, какой будет каждая последующая вспышка: красной или зеленой.
    В игре возможно применение двух основных стратегий. Одна — всегда называть цвет, который, как вам кажется, появляется чаще. Такой способ предпочитают крысы и другие животные, не родственные человеку. Если вы берете на вооружение эту стратегию, в определенной степени успех вам гарантирован, однако при этом вы соглашаетесь с тем, что лучших результатов уже не покажете. Например, если зеленый загорается в 75% и вы решите всегда называть этот цвет, ваши ответы будут правильны на 75%. Другая стратегия заключается в том, чтобы «вычислить» соотношение зеленого и красного, основываясь на своих наблюдениях. Если зеленые и красные сигналы появляются в определенной последовательности, и вам удается вычислить эту последовательность, данная стратегия позволит каждый раз угадывать правильно. Однако если сигналы появляются без всякой последовательности, надежнее придерживаться первой стратегии. В случае если зеленый загорается в 75% случаев, вторая стратегия позволит угадывать правильно лишь примерно в 6 случаях из 10.
    Обычно человек пытается вычислить определенную последовательность; если же ее нет, то крысам эта игра удается лучше. Но существуют люди с определенными послеоперационными поражениями мозга, у которых исключено взаимодействие правого и левого полушарий. Если ставить эксперимент с их участием и при этом они будут видеть цветовой сигнал или карточку только левым глазом, а отвечать только левой рукой, задействовано будет правое полушарие мозга. Если же в ходе эксперимента испытуемые пользуются правым глазом и правой рукой, задействуется левое полушарие. В результате подобных экспериментов исследователи выяснили, что у одного и того же испытуемого правое полушарие чаще угадывало загоравшийся цвет, а левое полушарие пыталось вычислить определенную последовательность сигналов.
    Мало у кого присутствует навык верного анализа и правильного выбора. Однако, как и любой навык, его можно совершенствовать на практике. Далее я рассмотрю роль случая в окружающем нас мире, идеи, которые формировались не одно столетие и благодаря которым понятна эта роль, а также факторы, часто вводящие нас в заблуждение. Английский философ и математик Бертран Рассел писал:
    «Все мы начинаем с “наивного реализма”», т. е. с учения о том, что вещи таковы, какими они кажутся. Мы полагаем, что трава зеленая, камень твердый, а снег холодный. Однако физика говорит, что зеленость травы, твердость камня и холодность снега — это не та зеленость, твердость и холодность, которую мы познаем на собственном опыте, а нечто совершенно иное»{7}.
    Предлагаю заглянуть через лупу случайности — станет ясно, что многие события в нашей жизни на самом деле выглядят несколько иначе, чем нам это могло казаться.

    В 2002 г. лауреатом Нобелевской премии по экономике стал ученый Дэниэл Канеман. В наше время экономисты чем только не занимаются: разъясняют, почему учителя получают такую маленькую зарплату, почему футбольные команды обходятся так дорого, как данные о физиологических отправлениях корректируют масштабы свиноферм (свинья испражняется в два-пять раз больше, чем человек, поэтому от свинофермы в тысячи голов отходов зачастую больше, чем от соседствующих с ней населенных пунктов){8}. Несмотря на огромную исследовательскую работу, проделанную экономистами, Нобелевская премия 2002 г. была примечательна тем, что получивший ее Канеман — не экономист. Он психолог и десятилетиями на пару с уже ушедшим из жизни Амосом Тверским развенчивал всевозможные ошибочные представления о теории случайности, в свою очередь порождавшие распространенные заблуждения. О них и пойдет речь в этой книге.
    Самая серьезная преграда на пути к осознанию роли случайности в жизни заключается в следующем: основные принципы случайности вытекают из обиходной логики, и многие следствия из этих принципов оказываются контр-интуитивными. Начало исследованиям Канемана и Тверского положила случайность. В середине 1960-х гг. Канеман, тогда еще младший преподаватель психологии в Еврейском университете, согласился выполнить довольно-таки скучную работу: прочитать инструкторам израильских ВВС лекцию по общепринятой точке зрения на модификацию поведения применительно к психологии обучения полетам. Канеман доказывал, что поощрение примерного поведения имеет смысл, а наказание за ошибки — нет. Один из слушавших прервал Канемана и высказал свое мнение, благодаря которому Канемана посетило озарение, и он на десятилетия углубился в изыскания{9}.
    «Частенько я расхваливал пилотов за идеально выполненные маневры, и что вы думаете? В следующий раз у них выходило гораздо хуже, — сказал инструктор. — На тех, кто выполнял маневры плохо, я кричал — на следующий день у них получалось гораздо лучше. Так что не надо рассказывать мне сказки о том, будто поощрение способствует повышению качества работы, а наказание — нет. По своему опыту знаю, что это не так». Другие инструкторы согласились с ним. Канеману слова инструктора показались не лишенными смысла. В то же время Канеман доверял результатам опытов над животными, которые свидетельствовали: поощрением можно добиться большего, нежели наказанием. Он стал размышлять над этим явным парадоксом. И тут его осенило: крик предшествовал наказанию, однако, несмотря на очевидное, не обуславливал его.
    Как такое возможно? Ответом на этот вопрос служит феномен «регрессии к среднему». Суть в том, что в любом ряду случайных событий за событием из ряда вон выходящим скорее всего и по чистой случайности последует событие ординарное. Механизм таков. Каждый пилот в той или иной степени обладает навыком управления самолетом-истребителем. Совершенствование этого навыка зависит от многих факторов, в том числе и от длительных тренировок. Таким образом, хотя в процессе тренировок мастерство пилотов медленно растет, за один полет многого они не добьются. И любой особенно удачный или неудачный полет будет зависеть в большой степени от везения. Так что если пилот посадил машину идеально, что называется, прыгнул выше своей головы, велика вероятность, что следующий полет у него пройдет на уровне гораздо ближе к его личной норме, то есть неважно. Если инструктор после первого полета своего подопечного хвалил, результаты следующего вылета докажут, что похвала будто бы не пошла на пользу. Однако если пилот приземлился исключительно неудачно — скажем, машина вышла за полосу и задела кафе, врезавшись в котел с кукурузным супом, — велика вероятность, что в следующий раз он отлетает гораздо ближе к личной норме, то есть лучше. Если инструктор по привычке наорет на плохо отлетавшего — мол, тому не самолетом управлять, а баранку грузовика крутить — покажется, будто внушения возымели действие. Таким образом, вырисовывается прямо-таки очевидная картина: пилот отлетал хорошо, его хвалят, а следующий вылет никуда не годится; пилот отлетал неважно, инструктор говорит ему все, что о нем думает, тот в следующий вылет исправляется. Пришедшие на лекцию Канемана инструкторы были уверены: если как следует наорать на пилота, ему это пойдет только на пользу. В действительности же подобный обучающий прием ничего не меняет.
    Подобная интуитивная ошибка натолкнула Канемана на размышления. Он задался вопросом: насколько подобные заблуждения распространены? Считаем ли мы, как те инструкторы, что резкая критика оказывает воспитательный эффект на наших детей, повышает производительность труда наших подчиненных? Заблуждаемся ли мы, когда сталкиваемся с неопределенностью? Канеман знал, что человек привычно стремится упростить задачу, требующую вынести некое заключение, и что представление вероятностей на интуитивном уровне играет в этом процессе важную роль. Станет ли вам дурно после того, как вы съедите тост со свежей на вид начинкой из морепродуктов, купленный вон в том ларьке? Вы ведь не подключаете свое сознание, перебирая в уме подобные ларьки, в которых вы часто покупали еду, и подсчитывая, сколько раз потом приходилось не спать ночью, глотая таблетки от расстройства желудка. Вы ведь не выдаете результат в численном значении. Вся работа проделывается на уровне интуиции. Однако исследования 1950-х и начала 60-х гг. доказали: в подобных ситуациях, когда речь идет о случайности, интуиция подводит. И вот Канеман задался вопросом: насколько распространены подобные заблуждения в отношении неопределенности? И как это отражается на способности человека принимать решения? Прошло несколько лет; как-то Канеман пригласил младшего преподавателя Амоса Тверского на один из своих семинаров прочитать лекцию. Позднее за обедом Канеман поделился с Тверским некоторыми своими мыслями. За последующие тридцать лет Тверский и Канеман выяснили: когда речь заходит о случайных процессах — пусть даже они имеют отношения к таким препростым областям, как военное дело, спорт, бизнес, медицина — убеждения, интуиция людей часто подводят.
    Допустим, четыре издателя не приняли рукопись вашего триллера, в котором затронуты темы любви, войны и глобального потепления. Интуиция и внутреннее чутье подсказывают вам, что такие признанные эксперты отвергли рукопись только по одной причине — она никуда не годится. Но не подводит ли вас ваша интуиция? В самом ли деле роман так безнадежен? По своему опыту все мы знаем, что если несколько раз подбросить монету и каждый раз она будет падать орлом вверх, это не значит, что монета «двуглавая». Может, успех в издательском мире так непредсказуем, что даже если роман обречен стать бестселлером, многие издатели тем не менее этого не увидят, и вы будете снова и снова получать письма: «Благодарим Вас за присланную рукопись, но мы не можем...»? В 1950-х гг. одна книга была отвергнута издателем со следующими комментариями: «слишком скучно», «однообразное повествование о перепалках в типичном семействе, о мелочных обидах и юношеских треволнениях», «даже если бы книгу напечатали пятью годами ранее, когда тема (Вторая мировая война) была актуальна, вряд ли она имела бы успех». Книга эта, «Дневник Анны Франк», была распродана тиражом в 30 млн — одним из самых больших в истории. Письма с отказами получала и Сильвия Плат: «Ваши работы недостаточно талантливы, чтобы обратить на себя наше внимание», и Джордж Оруэлл с его «Скотным двором»: «рассказы о животных не будут пользоваться в Америке спросом», и Исаак Башевис Зингер, потому что «действие происходит в Польше и снова эти богатые евреи». Еще до того, как Тони Хиллерман стал знаменитым, от него ушел литературный агент, посоветовав «бросить эту чепуху про индейцев»{10}
    И это вовсе не отдельные заблуждения. Часто случается, что невероятно успешные авторы поначалу получают отказ за отказом. Например, не так уж много книг, которые сегодня во всем мире имели бы большую популярность, чем книги Джона Гришема, Теодора Гейзеля (Доктора Сьюза), Джоан Роулинг. И тем не менее, их рукописи в ту пору, когда сами авторы еще не прославились, раз за разом отвергали. Рукопись Гришема «Пора убивать» отклонили двадцать шесть издательств, его вторая рукопись, «Фирма», заинтересовала издателей только после того, как неофициальный экземпляр романа, ходивший по рукам в Голливуде, привлек внимание кинематографистов, предложивших за права на экранизацию 600 тыс. долларов. Первую книгу для детей, «На Тутовой улице», написанную Доктором Сьюзом, не приняли в двадцати семи издательствах. Джоан Роулинг с ее первым романом о Гарри Поттере получила девять отказов{11}. Существует и оборотная сторона медали, хорошо известная любому человеку, связанному с миром бизнеса: многие талантливые писатели — эти Джоны Гришемы, бросившие попытки после двадцатого отказа, Джоан Роулинг, прекратившие борьбу после пяти отрицательных ответов — так и не пробились. После многочисленных отказов один такой писатель, Джон Кеннеди Тул, потерял надежду когда-нибудь опубликовать свой роман и покончил с собой. Его мать не оставила попыток, и одиннадцать лет спустя «Сговор остолопов» был опубликован. Он завоевал Пулитцеровскую премию, разойдясь тиражом в 2 млн экземпляров.
    Между созданием великого романа, ювелирного украшения или печенья с шоколадной крошкой и запуском в производство многочисленных копий этого романа, коробочек с ювелирным украшением или упаковок печенья пролегает целая пропасть, с одной стороны которой множество случайностей и неопределенностей, с другой — тысячи торговых павильонов. Вот почему успешные люди, чем бы они ни занимались, почти поголовно принадлежат к одной породе людей — тех, кто не сдается.
    Многое из происходящего с нами, будь то успех в работе, удачные вложения, верные решения в большом и малом, зависит не только от наших умений, готовности и трудолюбия, но и от случая. Так что воспринимаемая нами реальность вовсе не является прямым отображением людей или событий, она затушевана случайными эффектами непредвиденного или постоянно меняющимися внешними силами. Нельзя сказать, что способности ничего не значат, — это один из факторов, повышающих шансы на успех, — однако связь между действиями и результатом вовсе не такая прямая, как нам хотелось бы думать. Поэтому так трудно понять прошлое и спрогнозировать будущее; в обоих случаях мы лишь выиграем оттого, что заглянем дальше объяснений поверхностных.

    Обычно мы недооцениваем влияние случайности. Биржевой брокер советует нам вкладывать в латиноамериканский паевой инвестиционный фонд, которому «американские фонды и в подметки не годятся» и который процветает уже пять лет кряду. Врач приписывает повышение количества триглицеридов в крови нашему недавнему увлечению шоколадным печеньем, которое мы поглощаем каждое утро, запивая молоком, и это после того, как, будучи примерными родителями, накормим детей завтраком из манго и обезжиренного йогурта. Мы можем внять рекомендациям брокера, врача или не внять, однако мало кто из нас усомнится: действительно ли брокер или врач располагают всей информацией? В мире политики, экономики, бизнеса — даже если на кону миллионы долларов — случайные события часто истолковываются в неверном ключе: как достижения или провалы.
    Яркая иллюстрация тому — Голливуд. Заслужены ли поощрения (и наказания) в голливудской игре, играет ли удача в случае с огромными (или скудными) кассовыми сборами куда как большую роль, чем это кажется? Все мы понимаем: один только факт гениальности еще не гарантирует успеха, однако сам собой напрашивается вывод: успех всегда гениален. И все же тревожная мысль о том, что никто не может знать заранее, попадет фильм «в яблочко» или нет, витает в Голливуде по крайней мере с тех времен, когда романист и сценарист Уильям Голдман четко обозначил ее в своей ставшей классической книге 1983 г. «Приключения в кинематографическом бизнесе». Голдман повторяет слова бывшего продюсера Дэвида Пикера: «Если бы я сказал «да» всем проектам, которые отверг, и «нет» всем тем, которые принял, итог оказался бы примерно таким же, что и сейчас»{12}.
    Что тут говорить, когда снятый на домашнюю видеокамеру, с постоянно дрожащей картинкой фильм ужасов может стать хитом так же запросто, как профессионально сделанная картина «Изгоняющий дьявола: Начало» с бюджетом в 80 млн долларов. Что, кстати, и произошло несколько лет назад с фильмом «Ведьма из Блэр: Курсовая с того света» — съемки обошлись в 60 тыс. долларов, а кассовые сборы по Америке составили 140 млн — в три раза больше, чем у «Изгоняющего дьявола». Но все же Голдман говорил не об этом. Он имел в виду только профессиональные голливудские картины, чьи достоинства вполне позволяют выйти на солидного дистрибьютора. К тому же Голдман не отрицал, что основания для больших кассовых сборов существуют. Однако он убежден, что основания эти насколько сложны, а путь от решения снимать до приготовлений к презентации полон стольких препятствий — непредвиденных и не поддающихся контролю — что подкрепленным солидной базой рассуждениям о потенциале еще не снятого фильма стоит доверять не больше, чем гаданиям на кофейной гуще.
    За примерами непредсказуемости успеха или неуспеха голливудской картины далеко ходить не нужно. Киноманы вспомнят, какие ожидания возлагали студии на обещавший миллионные сборы фильм «Иштар» (Уоррен Битти + Дастин Хоффман + бюджет в 55 млн долларов = 14 млн доходов от кассовых сборов) и фильм «Последний киногерой» (Арнольд Шварценнеггер + 85 млн долларов = 50 млн долларов). С другой стороны, можно вспомнить и о серьезных сомнениях руководства «Юниверсал Студиос» в отношении молодого Джорджа Лукаса с его «Американскими граффити», снятыми менее чем за миллион долларов. Показы принесли 115 млн, но несмотря на это руководство киностудии восприняло следующий проект Лукаса с еще большим недоверием. Лукас дал сценарию рабочее название: «Приключения Люка Старкиллера из «Журнала Уиллов». Кинокомпания сочла, что по такому сценарию фильм снять невозможно. В конечном счете фильм сняли на студии «XX век Фокс», однако и там в Лукаса не очень-то верили: за сценарий и съемки ему заплатили всего 200 тыс. долларов, взамен он получил права на постановку сиквелов и коммерческое использование. На съемки «Звездных войн» потратили всего 13 млн долларов, фильм же принес 461 млн, а Лукас стал владельцем целой империи.
    Принимая во внимание тот факт, что «добро» на съемки дается за несколько лет до того, как фильм будет снят и что судьба фильма зависит от многих непредвиденных моментов, возникающих в процессе производства картины и ее реализации, а еще от вкуса зрителей, который невозможно предугадать, теория Голдмана не кажется притянутой за уши (в ее пользу говорят и недавние экономические исследования{13}). Тем не менее руководство студии судят не за управленческие способности, основу всех основ, которыми в равной степени должны обладать и глава американской сталелитейной компании, и глава «Парамаунт Пикчерз». Наоборот, его ценят за умение выбирать из множества сценариев будущие хиты. И если Голдман прав, то умение это не более чем иллюзия, и как бы глава студии ни пыжился, его заслуга в подписании контракта на 25 млн долларов невелика.
    Рассчитать, в какой степени результат зависит от умений и в какой от удачи, элементарно. Случайные события зачастую происходят с такой же частотностью, с какой в коробке овсянки встречаются изюминки — группами, слоями, слипшимися комочками. И хотя Судьба справедлива, предоставляя потенциальные возможности, она ничуть не справедлива в том, что касается результата. К примеру, 10 человек из руководства голливудской киностудии подбросят 10 монет. У каждого равные шансы выиграть или проиграть, но в конечном счете обязательно будут как выигравшие, так и проигравшие. Если брать данный пример, то вероятность того, что хотя бы у одного из руководителей выпадет 8 или более орлов или решек, равна 2 из 3.
    Представьте, что Джордж Лукас снимает новые «Звездные войны» и решается на безумный эксперимент. Он выпускает один фильм под двумя названиями: «Звездные войны: Эпизод А» и «Звездные войны: Эпизод В». У каждого фильма будет своя маркетинговая кампания, свое прокатное расписание, но все остальное — одинаковое, за исключением того, что в рекламных роликах-анонсах и на афишах в одном случае будет упоминаться «Эпизод А», в другом — «Эпизод В». И вот между этими двумя фильмами идет соревнование. Какой окажется популярней? Возьмем первых 20 тыс. зрителей и отметим, какой из фильмов они выбрали (при этом не будем учитывать тех отъявленных фанатов, которые пойдут на оба фильма, а потом будут с пеной у рта доказывать, что заметили тонкие, едва уловимые различия). Поскольку сами фильмы и рекламные кампании вокруг них одинаковы, можно смоделировать ситуацию, прибегнув к математическим построениям. Положим, все зрители выстроятся в очередь, каждый подбросит монету. Если выпадет орел, зритель смотрит «Эпизод А», если решка — «Эпизод В». Шансы, что выпадет орел или решка, равны, и можно подумать, что в этом состязании касс за зрителя каждый фильм получит примерно по половине зрителей. Однако согласно подсчетам математики случайного выходит иначе: наиболее вероятным количеством изменений лидирующей позиции будет 0, и в 88 раз больше будет вероятность того, что один из двух фильмов посмотрят все 20 тыс. зрителей, нежели что лидирующая позиция будет постоянно переходить то к одному фильму, то к другому{14}. Это говорит не о том, что между фильмами нет никакой разницы, а о том, что некоторые кинокартины посмотрит большее количество зрителей, даже если все фильмы одинаковы.
    Подобные вопросы не обсуждаются ни в зале заседаний правления, ни в Голливуде, ни где-либо еще, поэтому типичные случайные последовательности типа очевидных «черных» или «белых полос» или «одного к одному» (сбивания в кучу неких разрозненных данных) обыкновенно истолковываются неверно, а то и вообще считаются новой тенденцией и руководством к действию.
    Одним из наиболее ярких примеров взлетов и падений в современном Голливуде можно считать карьеру Шерри Лансинг, которая много лет успешно руководила кинокомпанией «Парамаунт»{15}. Во время ее управления кинокомпания получила «Лучший фильм» за «Форрест Гамп», «Храброе сердце», «Титаник» и два года приносила самые высокие доходы за всю историю своего существования. Затем слава Лансинг вдруг потускнела, и бывшую главу кинокомпании отстранили от управления после того, как, по словам журнала «Вэрайети»[2], «наступила череда недостаточно высоких кассовых сборов»{16}.
    Случай с Лансинг можно объяснить в двух словах, а можно и подробнее. Взгляните на ряд процентов: 11.4, 10.6, 11.3, 7.4, 7.1, 6.7. Ничего не замечаете? Самнер Редстоун, начальник Лансинг, заметил, и для него тенденция выглядела существенной: эти шесть цифр представляли собой удельный вес «Парамаунт» в обороте рынка за последние шесть лет управления под руководством Лансинг. Тенденция заставила «Бизнесуик» поразмышлять на тему: Лансинг «может и потерять сопутствующую ей в Голливуде удачу{17}». Вскоре Лансинг объявила об уходе, а несколько месяцев спустя в компанию взяли толкового управляющего Бреда Грея.
    Как может несомненно гениальный управляющий успешно руководить компанией целых семь лет, а затем вдруг сплоховать? Существует множество теорий, объясняющих ранний успех Лансинг. Пока дела «Парамаунт» шли хорошо, Лансинг превозносили за то, что при ней кинокомпания стала одной из наиболее толково управляемых в Голливуде, что ей удавалось превращать заурядные сценарии в успешные кинокартины, приносившие 100 млн долларов. Когда судьба от Лансинг отвернулась, верх взяли скептики. То, что было коньком Лансинг — успешные римейки и сиквелы — вменили ей в вину. И, возможно, неприятнее всего было то, что ее неудачу объяснили усредненными вкусами. Теперь ее попрекали тем, что она дала отмашку на съемки провальных в плане кассовых сборов картин «В ловушке времени» и «Лара Крофт — расхитительница гробниц: Колыбель жизни». Со всех сторон понеслось: Лансинг боялась рисковать, ее вкусы старомодны, она не следила за новыми веяниями. Но действительно ли ее вина в том, что она решила: из бестселлера Майкла Крайтона получится отличная картина? И где были критиковавшие «Лару Крофт», когда первая «Расхитительница гробниц» принесла 131 млн кассовых сборов?
    Даже если Лансинг и впрямь не лишена недостатков, ее звезда закатилась слишком внезапно. Неужели боязнь риска и небрежение тенденциями случились в одночасье? Потому как акции кинокомпании обвалились именно так. То Лансинг преуспевала, а то вдруг стала мишенью для комиков в ночных передачах. Такое резкое невезение можно было бы понять, если бы, подобно другим голливудским персонажам, она пережила тяжелый бракоразводный процесс, ее обвинили бы в растратах или увлекли в религиозную секту. Но ничего этого не было. И уж конечно, Лансинг не повредилась в уме. Единственным свидетельством внезапного провала Лансинг критики могли назвать только... внезапный провал.
    Как говорится, вскрытие показало, что причина увольнения Лансинг в неправильном истолковании кино-индустрией случайностей, а вовсе не в ее якобы неверных решениях: на момент ухода Лансинг из «Парамаунт» фильмы будущего года уже были в работе. Так что если мы попытаемся представить себе Лансинг в так называемом параллельном мире, где она осталась бы на своем месте, нам стоит лишь глянуть данные за год после ее ухода. «Парамаунт» выпустила «Войну миров», «Все или ничего», выручив за лето показов столько, сколько не выручала последние десять лет, а ее акции на рынке подскочили почти на 10%. И это не просто ирония судьбы, это все то же влияние случайности, «регрессия к среднему». В «Варьете» напечатали следующий заголовок: «Прощальные дары: картины старого режима поднимают акции "Парамаунт"»{18}. Так и вертится в голове мысль: наберись корпорация «Виаком» (владелец «Парамаунт») терпения, заголовок мог быть и таким: «Рекордный год возвращает „Парамаунт" и Лансинг на прежние позиции».
    Шерри Лансинг повезло в начале и не повезло в конце, но могло выйти и хуже. Могло случиться так, что ей не повезло бы в самом начале. Как директору киностудии «Коламбия Пикчерз» Марку Кантону. Вскоре после вступления в должность он прослыл мастером по части выбора прибыльных фильмов, однако когда в последующие несколько лет кассовые сборы оставались невысокими, его уволили. Один коллега упрекнул Кантона в том, что тот «не способен распознать фильм удачный и неудачный», а другой поставил ему в вину то, что он «слишком увлекся размахиванием руками», однако когда этот впавший в немилость директор оставил пост, кинокомпания готовила к показу такие фильмы, как «Люди в черном» (589 млн долларов прибыли от кассовых сборов по всему миру), «Самолет президента» (315 млн), «Пятый элемент» (264 млн), «Джерри Магуайр» (274 млн), «Анаконда» (137 млн). Как писал «Вэрайети», картины, доставшиеся по наследству еще от Кантона, «принесли успех, и успех немалый»{19}.
    Что ж, таков Голливуд, городок, где Майкл Овид чуть больше года президентствовал в «Компании Уолта Диснея», а затем оставил место с выходным пособием в 140 млн долларов, где главу студии Дэйвида Бегелмана руководство «Коламбия Пикчерз» уволило за подлог и растрату, а несколькими годами позднее он уже был главным управляющим студией «Метро-Голдвин-Майер». Однако, как станет ясно из следующих глав, подобные ошибочные суждения, от которых страдают в Голливуде, свойственны людям не только из мира кинематографа.

    Лично у меня прозрение на предмет неявного воздействия случайности наступило в колледже: слушая курс по теории вероятностей, я начал соотносить ее принципы со спортивным миром. Сделать это было легко, потому что в спорте, как и в кино-индустрии, достижения можно подсчитать, да и соответствующая информация доступна. Выяснил я следующее: как уроки спорта, которые заключаются в настойчивости, практических занятиях и командной работе, так и уроки теории случайности применимы ко всем сторонам жизни. И вот я принялся изучать историю двух бейсболистов, Роджера Мариса и Мики Мантла, которая может послужить уроком всем нам, даже тем, кто бейсбол путает с пинг-понгом.
    Шел 1961 год. Я едва научился читать, но до сих пор помню лица с обложки журнала «Лайф»: Марис и его еще более известный товарищ по команде «Нью-йоркские янки» Мантл. Эти два игрока вступили в поистине историческое соперничество — сравнять или побить рекорд Бейба Рута, поставленный в 1927 г. — 60 пробежек до дома[3] за год. Наивные то были времена. Мой преподаватель мог запросто сказать: «Нужно, чтобы у нас было больше таких героев, как Бейб Рут», или: «Среди наших президентов никогда не было людей нечестных». Поскольку легендарный Бейб Рут был, что называется, «священной коровой», любой, бросавший ему вызов, должен был быть уверен в своих силах. Мантл, мужественный бейсболист с сильным ударом, не покидавший поле, несмотря на боль в коленях, был любимцем не только болельщиков, но и прессы. Обладая симпатичной внешностью и ровным характером, Мантл походил на типичного молодого американца, и все надеялись, что именно он установит рекорд. Марис, наоборот, был резковатым и замкнутым, а еще неудачником, никогда не делавшим больше 39 пробежек за год — какие там 60. У него была репутация неприятного типа — такие обычно не дают интервью, не любят детей и вообще. Все болели за Мантла. Мне же нравился Марис.
    Вышло так, что колени доконали Мантла, и он дошел только до 54 пробежек. Марис же побил рекорд Рута — у него получилась 61 пробежка. За всю свою спортивную карьеру Бейб Рут четыре раза выдал в сезоне 50 и более пробежек, двенадцать раз был абсолютным чемпионом в лиге. Марис никогда больше не достиг результата в 50 и даже 40 и никогда больше не лидировал в лиге. Все это вызвало лишь чувство обиды. Со временем на Мариса обрушилась безжалостная критика со стороны болельщиков, спортивных журналистов, да и самих бейсболистов. Вердикт был таков: он не выдержал испытания чемпионством. Один известный ветеран от бейсбола сказал: «Марису и думать было нечего побить рекорд Руга»{20}. Возможно, так оно и есть, но причины здесь совсем не те, о которых говорил ветеран.
    Спустя много лет под влиянием того самого курса по теории вероятностей я стал смотреть на достижения Мариса в совершенно ином свете. Чтобы проанализировать состязание между Рутом и Мантлом, я перечитал старый номер «Лайфа» и наткнулся на коротенькое обсуждение теории вероятностей{21} и того, как с ее помощью прогнозировать исход состязания. Я решил произвести собственные математические расчеты полных пробегов. Вот как это было. Результат любого выхода на биту (и, следовательно, потенциального успеха) зависит в первую очередь, конечно же, от способностей игрока. Однако зависит он и от множества других факторов: состояния здоровья спортсмена, скорости и направления ветра, солнечной или пасмурной погоды, качества освещения на стадионе, типа подачи, текущей ситуации в игре, прогнозирования того, как будет лететь мяч, слаженной работы рук и глаз, брюнетки, с которой спортсмен познакомился накануне в баре и которую повел к себе, булочки с сосиской, острым сыром и чесночной поджаркой, которую он съел на завтрак и которая теперь лежит в его желудке камнем. Если бы не всевозможные непредвиденные факторы, игрок либо отбивал бы, либо не отбивал каждый удачный удар. Случайные факторы, влияющие на сотни выходов на биту, которые бывают у игрока за год, дают среднее количество пробежек, которое растет вместе с опытностью игрока и в конце концов убывает под влиянием того самого процесса, благодаря которому симпатичное лицо спортсмена покрывают морщины. Но иногда случайные факторы не выводят среднее количество. Как часто такое случается и насколько велико отклонение?
    Исходя из ежегодной статистики игрока, можно вычислить вероятное количество пробежек при каждой возможности, то есть при каждом выходе к базе{22}. В 1960 г., за год до своего рекорда, Роджер Марис отбивал 1 из каждых 14,7 возможных (примерно столько же, сколько у него получалось в среднем в течение четырех самых удачных лет). Давайте примем такой результат Мариса за обычный. Можно вычислить уровень мастерства Мариса в обычном исполнении следующим образом. Представьте, что орел выпадает в среднем не 1 раз в 2 броска, а 1 раз в 14,7 броска. Подбрасывайте монету 1 раз в каждом случае, когда игрок дорывается до площадки, и присуждайте Марису 1 отбивку мяча каждый раз, когда выпадет орел. Если вы хотите сравнить, как Марис выступал в сезоне, скажем, 1961 г., бросайте монету на каждую возможную отбивку, выпадавшую Марису в тот год. Таким способом вы выстроите целый ряд альтернативных сезонов 1961 г., в которых уровень мастерства Мариса сравнивается с общим числом отбивок обычного выступления. Эти сымитированные сезоны продемонстрируют серию результатов, которые можно было ожидать от Мариса в 1961 г., если бы не его талант, то есть если брать только его способности к «обычным» отбивкам и эффект чистого везения.
    Чтобы в самом деле поставить такой эксперимент, мне бы потребовалась необычная монета, натренированное запястье и разрешение не ходить на лекции. В действительности же математические расчеты, основанные на теории случайности, позволили мне провести анализ с помощью формул и компьютера. В большинстве сымитированных мной сезонов 1961 г. обычная цифра отбивок Мариса не выходила за пределы, обычные для Мариса, и это неудивительно. Лишь изредка он отбивал либо намного больше, либо намного меньше. Насколько часто Марис со своими «обычными» результатами выдавал результаты Рута?
    Я предполагал, что шансы Мариса с его «обычными» отбивками сравняться с рекордом Рута будут примерно равны шансам Джека Уиттакера, когда несколько лет назад тот, покупая в магазинчике печенье на завтрак, добавил еще один доллар и в результате оказался победителем лотереи штата, получив 314 тыс. долларов. Таковы должны были быть шансы менее способного игрока. Однако Марис с его «обычными» отбивками, хоть и не был Рутом, все же находился на уровне гораздо выше среднего. Так что случайная вероятность для Мариса поставить рекорд была вовсе не микроскопической: предполагалось, что он сравняется с результатом Рута или побьет его 1 раз в каждые 32 сезона. Может, это и не такая уж высокая вероятность, и возможно, вы не захотели бы поставить ни на Мариса, ни в особенности на 1961 г. Однако эта вероятность подводит к удивительному выводу. Чтобы понять, почему, зададим вопрос поинтересней. Рассмотрим всех, абсолютно всех игроков со способностями, равными «обычному» Марису, которых от рекорда Рута до «стероидной эры» (когда спортсмены стали принимать препараты и соответственно отбивать гораздо лучше) отделяют аж семьдесят лет. Какова вероятность, что некоторые игроки в некоторый момент достигнут рекорда Рута или побьют его по чистой случайности? Разумно ли считать, что в тот сезон Марису самым банальным образом повезло?
    Согласно истории, в тот период на каждые 3 года приходилось примерно по 1 игроку со способностями и возможностями, сравнимыми со способностями и возможностями «обычного» Мариса 1961 г. Когда вы все суммируете, у вас получится вероятность — благодаря чистой случайности один из тех игроков мог бы запросто сравняться с Рутом или побить его рекорд, и случайность эта равняется немногим более 50%. Другими словами, за период в семьдесят лет случайный рывок в 60 или более отбивок для игрока, от которого ожидают не более 40, — феномен, нечто вроде внезапного громкого треска, который возникает посреди помех при плохой телефонной связи. И уж конечно же, мы станем боготворить либо чернить (и наверняка бесконечно анализировать) этого «везунчика», кем бы он ни оказался.
    Невозможно утверждать наверняка, действительно ли Марис играл в 1961 г. лучше всего или же ему просто-напросто подфартило. Подробный анализ бейсбола и других спортивных игр такими именитыми учеными, как ныне покойный Стивен Джей Гулд и нобелевский лауреат Э.М. Перселл, доказывает: модели с подбрасыванием монет вроде тех, которые описал я, очень схожи с реальным выступлением и игроков, и команд, включая их «холодные и горячие периоды»[4]{23}.
    Когда мы рассматриваем невероятный успех, будь то в спорте или где еще, необходимо помнить о следующем: необычные события могут происходить без необычных тому причин. Случайные события часто выглядят как неслучайные, и, истолковывая все, что связано с человеком, нужно быть осторожным — не спутать одно с другим. Прошло не одно столетие, прежде чем ученые научились смотреть дальше очевидного порядка и распознавать скрытую случайность в природе и повседневной жизни. В данной главе я коротко познакомил вас с принципами действия. В последующих же главах рассмотрю основные положения случайности в историческом контексте и значимость этих положений. Таким образом, окружающий нас повседневный мир получит иную перспективу, вы лучше поймете связь между этим основным аспектом природы и нашим собственным опытом.

Глава 2. ЗАКОНЫ ПРАВДЫ И ПОЛУПРАВДЫ

    Когда человек смотрит на небо в безоблачную, безлунную ночь, его глаз различает тысячи мерцающих источников света. Беспорядочно раскиданные по небу звезды на самом деле расположены в определенной закономерности — в виде созвездий. Там Лев, здесь Большая Медведица... Умение распознавать созвездия может быть как преимуществом, так и недостатком. Исаак Ньютон размышлял над закономерностями падения предметов и вывел закон всемирного тяготения. Кто-нибудь другой подмечает, что удачно выступает в спортивных состязаниях, когда на нем ношеные носки, — вот и ходит в грязных. Как распознать среди всевозможных закономерностей природы те, которые действительно имеют смысл? Ответ на этот вопрос можно дать, основываясь исключительно на практике. Геометрия родилась из набора аксиом, теорем, доказательств, разработанных крупными философами, однако не удивляйтесь тому, что теория случайности оказалась порождением умов, интересовавшихся гаданиями и азартными играми, то есть тех, кого мы скорее представим с игральными костями или волшебным снадобьем, нежели с книгой или свитком в руках.
    Можно сказать, что в основе теории случайности лежит зашифрованный здравый смысл. Но она же представляет собой и сплошное коварство: бывало, имевшие солидную репутацию специалисты совершали ошибки, а пользовавшиеся дурной славой игроки оказывались правы. Чтобы понять теорию случайности и преодолеть заблуждения, необходим опыт и вдумчивый анализ. Итак, мы начинаем наше путешествие, отталкиваясь от основных законов вероятностей и проблем, связанных с их раскрытием, пониманием и применением. Одним из классических исследований на тему интуитивного понимания людьми этих законов можно считать эксперимент, который провели двое людей, сделавших так много для нашего просвещения, — Дэниэл Канеман и Амос Тверский{24}. Не робейте, присоединяйтесь — узнаете кое-что о своей собственной вероятностной интуиции.
    Представьте себе женщину по имени Линда: ей тридцать один год, она не замужем, ей свойственна прямота и исключительный ум. В колледже она в качестве основного предмета изучала философию. В студенческие годы Линда активно выступала против дискриминации и социальной несправедливости, участвовала в демонстрациях против использования ядерной энергии. Все это Тверский и Канеман рассказали группе из восьмидесяти восьми человек и попросили их оценить следующие утверждения по шкале из восьми баллов: 1 балл — наиболее вероятное утверждение, 8 баллов — наименее вероятное. Вот результаты, от наиболее до наименее вероятных (табл. 1).
    На первый взгляд может показаться, что ничего необычного в таких результатах нет: по описанию Линда скорее походила на активную феминистку, чем на банковского служащего или страхового агента. Однако обратим внимание на три возможности и их средние баллы, данные ниже в порядке от наиболее до наименее вероятного. 85% опрашиваемых оценили эти три возможности следующим образом (табл. 2).

    Таблица 1
   

    Таблица 2
   

    Если вы не видите ничего необычного, значит, Канеману и Тверскому удалось провести вас, потому как если вероятность того, что Линда работает в банке и принимает активное участие в феминистском движении, больше, чем вероятность того, что Линда работает в банке, нарушается наш первый закон вероятностей, один из основных: «Вероятность того, что произойдут оба события, не может быть выше вероятности того, что каждое из событий произойдет по отдельности». Почему нет? Простая арифметика: вероятность того, что событие А произойдет = вероятности того, что события А и В произойдут + вероятность того, что событие А произойдет, а событие В не произойдет.
    Для Канемана и Тверского результаты неожиданными не стали — они снабдили опрашиваемых большим количеством возможных вариантов, и связь между тремя сценариями, расположенными в случайном порядке, можно было и выпустить из виду. Канеман и Тверский дали описание Линды еще одной группе, но на этот раз утверждений было только три:
    • Линда принимает активное участие в феминистском движении.
    • Линда работает в банке и принимает активное участие в феминистском движении.
    • Линда работает в банке.
    К их удивлению, 87% опрошенных также выстроили утверждения следующим образом: вероятность того, что Линда работает в банке и принимает активное участие в феминистском движении, оказалась выше вероятности того, что Линда работает в банке. Исследователи решили пойти еще дальше: они прямо попросили группу из тридцати шести совсем неглупых выпускников подумать над ответами, при этом держа в уме наш первый закон вероятностей. Но даже после подсказки двое выпускников продолжали настаивать на нелогичных суждениях.
    Канеман и Тверский заметили одну любопытную деталь, связанную с этим упрямым заблуждением: люди не совершат той же ошибки, если задать им вопросы о Линде, не связанные с тем, что они о ней знают. К примеру, предположим следующее — Канеман и Тверский спросили о том, какое из ниже приведенных утверждений наиболее вероятно:
    • Линда владеет магазином, продающим блинчики по франшизе.
    • Линда перенесла операцию по изменению пола, теперь ее зовут Ларри.
    • Линда перенесла операцию по изменению пола, теперь ее зовут Ларри, и она владеет магазином, продающим блинчики по франшизе.
    В данном случае несколько опрашиваемых выбрали бы в качестве наиболее вероятного утверждения последнее.
    Канеман и Тверский сделали вывод: утверждение «Линда принимает активное участие в феминистском движении» не противоречит описанному характеру Линды, а добавление такой подробности, как работа в банке, только увеличивает правдоподобность утверждения. Но между хипповой юностью Линды и ее четвертым десятком жизни в этом бренном мире могло случиться много чего. Она могла стать религиозной фундаменталисткой, выйти замуж за скинхеда и сделать татуировку свастики на левой ягодице, могла заняться чем-то другим и забыть о своем активном участии в политической жизни. В каждом из этих утверждений, да и во многих других Линда, возможно, не будет принимать активное участие в феминистском движении. Поэтому добавление этой детали снижает вероятность утверждения, пусть даже на первый взгляд кажется ровным счетом наоборот.
    Если предлагаемые нам описания вписываются в какие-то там наши представления, то чем больше таких описаний в утверждении, тем более жизненным и, следовательно, более вероятным оно нам кажется, пусть даже каждое добавление не являющейся фактом детали к предположению делает это предположение менее вероятным. Это противоречие между логикой вероятного и людской оценкой недостоверных событий заинтересовало Канемана и Тверского, поскольку оно может привести к несправедливым или ошибочным оценкам в жизненных ситуациях. Что вероятнее: что ответчик, обнаруживший мертвое тело, покинул место преступления, или что ответчик, обнаруживший мертвое тело, покинул место преступления из-за страха возможного обвинения в ужасном преступлении?
    Канеман и Тверский выяснили, что даже врачи высокой квалификации совершают подобную ошибку{25}. Канеман и Тверский поставили перед группой интернов серьезную проблему: эмболия легких (закупорка легочной артерии сгустком крови). При наличии такого диагноза врач может назвать целый ряд симптомов. Некоторые из них, такие как частичный паралич, не являются типичными, другие, такие как затрудненное дыхание, вероятнее. Что произойдет скорее: страдающий эмболией испытает частичный паралич или же и паралич, и затрудненное дыхание? Канеман и Тверский обнаружили следующее: 91% врачей считают, что закупорка едва ли вызовет один лишь редкий симптом, скорее комбинацию симптомов: и паралич, и затрудненное дыхание. (В защиту врачей скажу только, что пациенты не входят к ним в кабинет со словами: «У меня в легочной артерии сгусток крови. Определите симптомы».)
    Через несколько лет один из студентов Канемана вместе с другим научным сотрудником обнаружил, что адвокаты в своих суждениях становятся жертвами того же предубеждения{26}. Неважно, уголовное ли дело или гражданское — именно адвокаты просчитывают возможные события, если дело доходит до суда. Какова вероятность оправдательного приговора, мировой или денежного штрафа в ту или иную сумму? Хотя адвокаты могут и не выражать свои мнения в численных вероятностных значениях, они дают совет, основываясь на собственных прогнозах относительного правдоподобия возможного исхода. В данном случае исследователи также выяснили, что адвокаты определяют как наиболее вероятные чрезвычайные обстоятельства, описанные более подробно. Например, когда Пола Джонс подала в суд на действовавшего президента Клинтона, были опрошены 200 практикующих юристов: какова вероятность того, что дело не доведут до конца? Некоторые рассматривали отдельные причины раннего завершения судебного дела или прекращения его судьей. Сравнивая две группы — адвокатов, которым задали простой вопрос: доведут ли судебное дело до конца, и адвокатов, которым сообщили ряд условий, при которых судебное дело может завершиться досрочно, — исследователи увидели: вторая группа оказалась многочисленнее, чем первая.
    Способность оценивать значимые связи между разными явлениями, окружающими нас, может оказаться настолько важной, что ради нее стоит рассмотреть несколько примеров с миражами. Если голодный пещерный человек видит размытое зеленоватое пятно на камне в отдалении, ему гораздо дороже обойдется невнимание к этому пятну, которое в действительности окажется жирной, вкусной ящерицей, нежели мгновенная реакция на пятно, которое в действительности окажется всего-навсего листиком дерева. Итак, теория говорит о следующем: вполне возможно, что, эволюционируя, мы избегали первой ошибки, совершая иной раз вторую.

    Если говорить о математике, то считается, что древние греки разработали тот корпус, на котором держится современная математика: аксиомы, из которых выводились доказательства, порождавшие очередные теоремы, приводившие к новым доказательствам, новым теоремам и т. д. Однако в 1930-х гг. американский математик немецкого происхождения Курт Гедель, друг Эйнштейна, продемонстрировал, что такой подход в некоторой степени несовершенен: он сформулировал и доказал, что либо формальные системы определенного рода неполны, либо должны содержать утверждения, которые не могут быть доказаны. Тем не менее математика продолжала развиваться в древнегреческом ключе, то есть, по Евклиду. Греки, эти гении по части геометрии, разработали небольшой набор аксиом и утверждений, принимаемых без доказательства, и, уже исходя из них, доказывали многие замечательные теоремы, определяя свойства прямых, плоскостей, треугольников и других геометрических фигур. Так, древние греки установили, к примеру, что земля представляет собой шар, и даже вычислили ее радиус. Можно только диву даваться, почему цивилизация, которая смогла породить теорему вроде 29-го предложения Книги I в «Началах» Евклида — «Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, <вместе> равные двум прямым»[5], — не вывела теорему, из которой бы следовало, что, играя в кости, не стоит ставить свой «корвет» на то, что выпадут две шестерки.
    Вообще-то, у древних греков не то что «корвета» — и игральных костей-то не было. Тем не менее в азартные игры они играли. В их распоряжении было достаточно скелетов животных, так что они бросали «бабки» — таранные кости[6] копытных животных. У таранной кости — шесть сторон, но только четыре достаточно устойчивы, чтобы брошенная кость упала на одну из них. В наши дни ученые отмечают, что благодаря строению кости шансы того, что она упадет на одну из сторон, неравны: около 10% для двух из сторон и 40% для других двух. Была распространена игра, в которой выбрасывали четыре «бабки». Наилучшим считался бросок достаточно редкой комбинации: все четыре кости выпадали разными сторонами. Такой бросок назывался броском Венеры. Вероятность такого броска была 384 из 10.000, однако древние греки, за неимением в своем арсенале теории случайности, этого не знали.
    В Древней Греции костями пользовались и тогда, когда вопрошали оракула. Вопрошающий мог получить ответ, который, как считалось, исходил от самих богов. Как видно из записей историка Геродота, а также свидетельств Гомера, Асклепия, Софокла, многие важные решения, принятые древними греками, были основаны на советах оракулов. Однако, несмотря на всю важность применения костей в азартных играх и гаданиях, древние греки даже не пытались понять закономерности бросков.
    Почему же в Древней Греции теория случайности так и не появилась? Можно предположить, что греки верили: будущее вершится согласно воле богов. Если брошенные кости подразумевали что-то вроде: «бери в жены коренастую спартанку, которая прижала тебя к земле во время поединка за школой», греческий парень не рассматривал бросок как удачный (неудачный) результат случайного процесса, он видел в этом волю богов. При таком положении дел осмысление понятия случайности попросту не требовалось. Следовательно, математическое обоснование теории случайности оказывалось невозможным. Можно исходить и из философии, благодаря которой древние греки достигли таких высот в математике: они настаивали на абсолютной истине, подтвержденной логикой и аксиомами, а неопределенные высказывания их не устраивали. К примеру, в «Федоне» Платона Симмий говорит Сократу, что «доводы, доказывающие свою правоту через правдоподобие, — это самозванцы», и предвосхищает работу Канемана и Тверского, указывая на то, что «если не быть настороже, они обманут тебя самым жестоким образом. Так случается и в геометрии, и во всем прочем{27}». А в «Теэтете» Сократ говорит, что если бы какой геометр «стал пользоваться ею {вероятностью — перев.} в геометрии, грош была бы ему цена{28}». Но даже те из греков, которые считали, что цена вероятности больше гроша, испытали бы затруднения, разрабатывая последовательную теорию в те времена, когда еще не было принято записывать все происходящее, потому что, как известно, людская память служит плохую службу, когда дело доходит до подсчетов частоты, а, следовательно, и вероятности, событий в прошлом.
    Чего в английском языке больше: слов из шести букв, пятая из которых n, или слов из шести букв, имеющих окончание -ing? Большинство считают, что слов с окончанием -ing больше. Но почему{29}? Потому что такие слова быстрее приходят на ум. Однако нет необходимости рыться в «Оксфордском английском словаре» или даже уметь считать, чтобы доказать: подобное утверждение ошибочно. Ведь слова из шести букв, пятая из которых n, входят в группу слов с окончанием -ing. Психологи называют подобный тип ошибок тенденцией оценивать вероятность по наличию примеров: реконструируя прошлое, мы отдаем ничем не оправданное предпочтение тем воспоминаниям, которые отличаются наибольшей живостью и, следовательно, быстрее всплывают в памяти.
    Но в случае с тенденцией оценивать вероятность по наличию примеров вот ведь какая незадача: она самым коварным образом искажает наше видение мира, искажая восприятие нами событий в прошлом и окружающей действительности. К примеру, людям свойственно преувеличивать число бездомных с умственными расстройствами, потому что когда они встречают бездомного человека, в поведении которого не заметно никаких странностей, они не обращают на него внимания и не рассказывают своим друзьям о том, что столкнулись с ничем не примечательным бездомным. Однако когда они видят бездомного, шагающего по улице, размахивая руками в ответ на реплики воображаемого собеседника, и распевающего похоронный марш «Как святые войдут в рай», увиденное отпечатывается у них в памяти{30}. Какова вероятность того, что из пяти очередей в кассы супермаркета вы выберете ту, которая будет продвигаться дольше всего? Если только на вас не навел порчу какой-нибудь черный маг, вероятность равна примерно 1 из 5. Тогда почему же задним числом вам кажется, будто это у вас такой «особый дар» — вставать в очередь, которая продвигается медленнее всего? А потому, что когда все идет как по маслу, вы обращаете внимание на что-то другое, более важное, однако волей-неволей задумываетесь, когда стоящая перед вами дама с одной куриной тушкой в тележке пускается в споры: почему ей пробили курицу по цене 1 доллар 50 центов, тогда как на ценнике у прилавка было 1 доллар 49 центов?
    Яркой иллюстрацией того, как тенденция оценивать вероятность по наличию примеров может повлиять на наше суждение и принятие решения, является смоделированный суд присяжных{31}. В нашем примере присяжные были снабжены одинаковым объемом свидетельских показаний, как «за», так и «против», по делу о наезде на мусоровоз, который совершил якобы пьяный водитель. Подвох же заключался в том, что первой группе присяжных оправдательные свидетельские показания представили в более «спокойном» виде: «В результате перекрестного допроса владелец мусоровоза признался, что его мусоровоз ночью трудно заметить, так как он серого цвета». А вот второй группе те же самые показания представили в более «живом» свете: «В результате перекрестного допроса владелец мусоровоза заявил, что ночью его мусоровоз трудно заметить, так как он серого цвета. Владелец заметил, что все его мусоровозы серые "потому что так меньше заметна грязь. А мне что, покрасить их в розовый цвет, что ли?"». Обвинительные свидетельские показания также представили в двух версиях. Но на этот раз версию «поживее» услышала первая группа присяжных, а версию «поспокойнее» — вторая. И когда присяжных попросили вынести вердикт — соотношение виновен/невиновен, — то наибольшее количество баллов выставлялось теми, кто услышал версию «поживее». К тому же эффект только усиливался в промежутке за двое суток до вынесения вердикта (предположительно в связи с особенностями восприятия информации и ее воспроизведения с течением времени).
    Искажая наш взгляд на прошлое, тенденция оценивать вероятность по наличию примеров осложняет любые попытки разобраться. Это было справедливо для древних греков, справедливо и для нашего времени. Однако существовало и еще одно серьезное препятствие столь раннему возникновению теории случайности, препятствие исключительно практического свойства: основы теории вероятностей требовали всего лишь знания арифметики, но та форма арифметики, которая была знакома грекам, оказалась крайне неудобной для работы. К примеру, в Афинах в V в. до н.э, когда греческая цивилизация переживала свой расцвет, для записи цифр пользовались своего рода алфавитным кодом{32}. Первые девять из двадцати четырех букв древнегреческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9. Следующие девять букв обозначали десятки: 10, 20, 30 и так далее. А последние шесть букв и еще три символа обозначали сотни: 100, 200... до 900. Если вы считаете, что математика вам не дается, представьте, каково вычесть ΔΓΘ из ΩΨΠ! К тому же единицы, десятки и сотни записывались в произвольном порядке: иногда сотни писали в начале, иногда в конце, иногда вообще не придерживались никакого порядка. Ну и в довершение всего у древних греков не было нуля!
    Нуль появился у греков, когда в 331 г. до н.э. Александр Македонский завоевал Вавилонское царство. Но даже когда александрийцы уже пользовались нулем, его все еще не рассматривали как самостоятельное число. В современной математике число 0 наделено двумя основными свойствами: при сложении с нулем число не меняется; при умножении на любое число нуль не меняется. Эти положения стали применяться только в IX в. благодаря индийскому математику Махавире.
    Но даже после перехода на удобную для использования систему счисления понадобилось не одно столетие, прежде чем люди признали сложение, вычитание, умножение и деление основополагающими математическими операциями и медленно осознали, что специальные символы облегчат выполнение этих операций. Поэтому лишь к XVI в. западный мир созрел для теории вероятностей. Несмотря на неудачную систему счисления, именно римляне, эти завоеватели греков, сделали первые шаги к пониманию случайности.

    Вообще-то римляне относились к математике с презрением, по крайней мере, к математике греков. По словам римского сенатора Цицерона, жившего с 106 по 43 гг. до н.э., «греки более всего почитали геометрию; соответственно, в математике они достигли величайших успехов. Однако мы, действуя в пределах этого искусства, извлекли из математики пользу, приспособив ее для измерений и вычислений»{33}. В самом деле, в то время как в греческих книгах доказывалось равенство абстрактных треугольников, в римских книгах приводился ход вычислений глубины реки, другой берег которой занял неприятель{34}. Неудивительно, что греки дали миру стольких великих математиков: Архимеда, Диофанта, Евклида, Евдокса, Пифагора, Фалеса, а римляне — ни одного. С такими-то приоритетами{35}! Римляне ценили удобства и вели войны, их не интересовали истина и красота. Но именно благодаря своей практичности они разглядели пользу от понимания вероятности. Поэтому, не видя особого проку от абстрактной геометрии, Цицерон написал, что «вероятность ведет нас по жизни»{36}.
    Цицерона можно было бы назвать величайшим античным поборником принципа вероятности. Он прибегал к нему, когда оспаривал общепринятое объяснение успеха в азартных играх как божественного вмешательства, говоря, что «тому, кто играет, рано или поздно выпадет бросок Венеры, рано или поздно выпадет и два, три броска подряд. Но надо быть слабоумным, чтобы утверждать, будто это — результат личного вмешательства Венеры, а не чистой воды везенье»{37}. Цицерон верил, что событие возможно предвидеть, пусть даже оно и произойдет совершенно случайно. Он даже приводил доказательство из области статистики, высмеивая веру в астрологию. Цицерону не нравилось, что астрология, хоть и запрещенная в Риме, процветала; он отметил, что в 216 г. до н.э. в сражении при Каннах Ганнибал со своим пятидесятитысячным карфагенским войском, а также союзными войсками разгромил гораздо более многочисленную римскую армию: из 80 тыс. солдат полегло 60 тыс. «Едва ли у всех римских солдат, погибших в битве, был одинаковый гороскоп, — говорил Цицерон. И тем не менее всех постигла одна и та же участь{38}». Цицерону наверняка было бы приятно узнать, что пару тысячелетий спустя в одном солидном научном журнале ученые, изучив обоснованность астрологических предсказаний, согласились с его выводами{39}. С другой стороны, сегодня в «Нью-Йорк пост» напечатали, что мне, Стрельцу, следует отнестись к критике объективно, приняв ее во внимание.
    В итоге Цицерон внес немалый вклад в развитие идей вероятности — термин probabilis, который он использовал, лег в основу современного термина. И лишь в «Дигестах», одной из частей римского права, составленного императором Юстинианом I, появляется документ, в котором впервые вероятность упоминается как юридический термин{40}. Чтобы оценить то, как римляне применили математические суждения в теории права, необходимо представлять себе те времена: римское право в Средние века основывалось на обычном, т.е. основанном на обычаях, праве германских племен. Которые мягкостью не отличались. Взять, к примеру, свидетельские показания. Правдивость мужа, отрицающего любовную связь с портнихой жены, определялась бы не способностью муженька выдержать уколы адвоката противной стороны, а тем, станет ли он придерживаться своей версии даже после уколов — настоящих, каленым железом. (Вот увидите: стоит только вернуться к такому обычаю, как очень многие будут разводиться без всякой помощи со стороны суда.) И если обвиняемый скажет, что колесница даже не пыталась затормозить, а привлеченный в качестве эксперта свидетель по следам лошадиных копыт заявит, что пыталась, германское право предписывало довольно-таки простой рецепт: «Пусть спор разрешится посредством поединка на копьях между двумя с обеих сторон. Проигравший будет сочтен лжесвидетелем, и ему отсекут правую руку»{41}.
    Заменяя или скорее дополняя судебную практику сражением, римляне стремились с помощью математической точности исправить недостатки своей старой, произвольной системы. Как мы видели, римская идея справедливости включала в себя прогрессивные понятия. Признавая, что доказательства и свидетельские показания зачастую вступают в противоречие и что наилучший способ разрешить такое противоречие — выразить неизбежную неопределенность в количественном виде, римляне ввели понятие неполного доказательства. Оно применялось в тех случаях, когда отсутствовали неопровержимые основания для того, чтобы верить или не верить доказательствам или свидетельским показаниям. В некоторых случаях римская теория допускала еще более детальные степени доказательства, как, например, в положении о церкви: «епископ может быть осужден только при наличии семидесяти двух свидетелей... иерей может быть осужден только при наличии сорока четырех свидетелей, дьякон города Рима — при наличии тридцати шести свидетелей, иподьякон, пономарь, заклинатель, изгоняющий беса, псаломщик или дверник — при семи свидетелях{42}». Чтобы человека осудили при таких правилах, он должен не только совершить преступление, но и убедить в этом других. И все же признание того, что вероятность истины в показаниях может варьировать и что необходимы правила для сочетания таких вероятностей, — уже что-то. И вот в таком маловероятном месте, как древний Рим, впервые возник упорядоченный набор правил, в основе которых лежала вероятность.
    К сожалению, едва ли возможно с ловкостью жонглировать числами вроде «VIII» или «XIV». В конце концов, хотя римское право было не лишено определенной доли юридического рационализма и связности, ему недоставало математической обоснованности. К примеру, в римском праве два неполных доказательства составляли полное доказательство. Это может показаться резонным тому, чей ум не привык мыслить категориями количества. При сегодняшней распространенности дробей напрашивается вопрос: если два неполных доказательства составляют полное доказательство, то чему равны три неполных доказательства? Согласно правильному методу сложения вероятностей, полное доказательство невозможно составить не только из двух неполных доказательств, но и из любого количества неполных доказательств, потому что при сложении вероятностей нужно не складывать их, а умножать.
    Что подводит нас к очередному закону, правилу сложения вероятностей: «Если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга, то вероятность того, что А и В произойдут, равна произведению их отдельных вероятностей». Предположим, каждый год у человека женатого вероятность развестись равна примерно 1 к 50. С другой стороны, каждый год у полицейского вероятность погибнуть при исполнении равна 1 к 5000. Какова вероятность для женатого полицейского развестись и погибнуть в одном и том же году? Согласно вышеприведенному принципу, если события независимы друг от друга, шансы окажутся примерно такими: 1/50 х 1/5000, то есть 1/250000. Конечно же, события эти не являются независимыми друг от друга, они связаны: если полицейский погибнет, как он, черт возьми, может развестись? В таком случае вероятность такого исключительного невезения на самом деле получается чуть менее 1 из 250000.
    Но почему умножение, а не сложение? Предположим, у вас фотографии 100 парней, с которыми вы познакомились через сайт знакомств в Интернете, тех самых парней, в профиле у которых висит фотография, напоминающая Тома Круза, а в жизни они скорее смахивают на Дэнни Де Вито. И вот вы подбираете наиболее привлекательных кандидатов. Предположим также, что на оборотной стороне каждой фотографии вы пишете два качества парня, к примеру, честный («да» или «нет») и привлекательный («да» или «нет»). И, наконец, предположим, что 1 из 10 возможных родственных душ получает в каждом случае «да» или «нет». Сколько парней из 100 пройдут тест по обеим категориям? Возьмем честность как основную черту (впрочем, можно основной сделать и привлекательность). Поскольку 1 из 10 получает «да» в категории «честный», в итоге останутся 10 парней из 100. Сколько парней из этих 10 окажутся привлекательными? Снова 1 из 10. В итоге у вас остается одна фотография. Первые 10 из 100 снижают вероятность на 1/10, то же самое происходит и при следующем отборе — 1 из 10. Как результат, 1 из 100. Вот почему мы умножаем. И если ваши требования не ограничиваются честностью и привлекательностью, придется все умножать и умножать, так что... удачи!
    Прежде чем мы продолжим, стоит обратить внимание на одну важную деталь: условие «если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга». Предположим, в самолете осталось 1 свободное место, а регистрацию не прошли еще 2 пассажира. Предположим, что работники аэропорта по своему опыту знают: в 2 из 3 случаев пассажир, забронировавший место, все же прибывает. Воспользовавшись правилом умножения, бортпроводница у входа на посадку может прийти к следующему выводу: вероятность того, что ей придется иметь дело с недовольным пассажиром, равна 2/3x2/3, то есть примерно 44%. С другой стороны, вероятность того, что пассажир не явится вовсе, а самолет так и улетит с одним незанятым местом, равна 1/3x1/3, то есть примерно 11%. Но это при условии того, что пассажиры не зависят друг от друга. А если, скажем, они летят вместе? В таком случае вышеприведенные выкладки не действуют. Вероятность того, что прибудут оба пассажира, равна 2 из 3 — такая же, что и вероятность появления одного пассажира. Важно не забывать, что суммарная вероятность из простых вероятностей получается только при условии, если события никоим образом не связаны друг с другом.
    Правило, которым мы только что воспользовались, вполне возможно применить и к римской идее неполных доказательств: вероятность ошибочности двух независимых друг от друга неполных доказательств равна 1 из 4, таким образом, два неполных доказательства составляют 3/4 доказательства, а не целое. Римляне применили сложение там, где следовало применить умножение.
    Однако существуют ситуации, в которых вероятности следует суммировать, и тут мы переходим к следующему закону. Потребность в нем возникает, когда нам надо узнать: каковы шансы того, что произойдет одно либо другое событие, в противоположность предыдущей ситуации, когда нужно было узнать: каковы шансы того, что и одно и другое событие произойдут вместе. Закон гласит: «Если событие состоит из ряда элементарных исходов А, В, С и т.д., то вероятность А или В равна сумме отдельных вероятностей А и В, а сумма вероятностей всех возможных исходов (А, В, С и т.д.) равна 1 (те. 100%)». Если вы хотите узнать, какова вероятность того, что два независимых друг от друга события, А и В, произойдут, вам надо будет произвести умножение; если вы хотите узнать вероятность того, что любое из двух взаимоисключающих событий, А или В, произойдет, вы производите сложение. Вернемся к нашему самолету. Когда бортпроводнице нужно будет суммировать вероятности, а не умножать их? Предположим, она хочет узнать, какова вероятность того, что явятся либо оба пассажира, либо не явится ни один. В таком случае она должна сложить отдельные вероятности, которые согласно произведенным нами выше подсчетам будут равны 55%.
    Эти три правила, такие простые, и лежат в основе теории вероятностей. Если применять их должным образом, можно многое понять в механизмах природы и повседневной жизни. Принимая решения, мы постоянно пользуемся этими правилами. Однако, как и римские законодатели, не всегда корректно.

    Легко задним числом качать головами и писать книжки вроде «Этих ужасных римлян» («Схоластик», 1994). Но чтобы предупредить ничем не оправданное самодовольство, в заключение этой главы рассмотрим некоторые способы, при помощи которых те самые основные правила, о которых я рассказал, могут быть применены и к нашей правовой системе. Оказывается, этого достаточно, чтобы отрезвить любого опьяненного своим культурным превосходством.
    Радует тот факт, что в наше время неполных доказательств не существует. Однако существует что-то вроде 999.000/1.000.000 доказательства. Об этом знают специалисты, которых привлекают на уголовном процессе к анализу ДНК с места преступления на предмет ее совпадения с ДНК подозреваемого. Насколько надежны такие сравнения? Когда впервые ввели анализ ДНК, целый ряд специалистов отметили: теперь ошибка исключена. В наше же время признают, что вероятность совпадения ДНК с места преступления с ДНК случайного человека равна менее 1 из 1 млн или 1 из 1 млрд. При такой-то вероятности едва ли можно винить присяжного за мысли вроде: «Тюрьма по нему плачет!». Но существует и другая статистика, в которую присяжных обычно не посвящают, и связана она с тем фактом, что совершают ошибки лаборатории: когда берут образец или производят с ним манипуляции, когда случайно путают образцы, подменяют один другим, неверно интерпретируют результаты или же ошибаются в отчетах. Каждая из этих ошибок случается редко, однако не реже совпадения образца ДНК с ДНК случайного человека. К примеру, в филадельфийской криминалистической лаборатории признались, что при расследовании случая изнасилования перепутали контрольный образец обвиняемого с образцом жертвы, да и в компании «Селлмарк Диагностикc», выполняющей анализы, рассказали о подобном случае{43}. К сожалению, сила данных по ДНК анализу такова, что оклахомский суд, основываясь на этих данных, приговорил некого Тимоти Дарема к более чем 3 тыс. лет тюремного заключения, и это несмотря на показания одиннадцати свидетелей, которые утверждали, что на момент совершения преступления Дарем находился в другом штате. Оказалось, что на начальном этапе анализа в лаборатории не удалось полностью разделить ДНК насильника и ДНК жертвы, в результате чего получившаяся комбинация дала положительный результат при сравнении с ДНК Дарема. Позднее повторный анализ выявил ошибку и Дарема выпустили, однако к тому времени он провел за решеткой почти четыре года{44}.
    Данные подсчетов частоты ошибок, возникших по вине человека, различаются, однако многие специалисты говорят о примерно 1%. Но так как частоту ошибок по многим лабораториям никто не проверял, в судах редко принимают во внимание показания относительно подобной общей статистики. Даже если бы и принимали, как бы присяжные смогли оценить их? Большинство присяжных допускают, что при наличии двух типов ошибок — 1 из 1 млрд при случайном совпадении и 1 на 100 при ошибочном совпадении в лаборатории — общая частота ошибок должна находится где-то посередине, скажем, 1 из 500 млн. Цифра, по мнению присяжных, не дающая поводов для обоснованного сомнения.
    А ход мысли такой. Раз обе ошибки крайне маловероятны, можно не обращать внимания на вероятность и случайного совпадения, и ошибки лаборатории. Следовательно, находим вероятность того, что случится либо одна ошибка, либо другая. Что, по правилу сложения, равно: вероятность ошибки лаборатории (1 из 100) + вероятность случайного совпадения (1 из 1 млрд). Поскольку второе в 10 млн меньше первого, то в весьма хорошем приближении вероятность обеих ошибок равна вероятности более вероятной ошибки, то есть, 1 из 100. Таким образом, можно пренебречь предупреждением специалистов о возможности случайного совпадения, и обратить внимание на гораздо более вероятный риск лабораторных ошибок. А ведь зачастую суды не позволяют адвокатам предоставлять эти данные! Выходит, что мнения о надежности анализа ДНК преувеличены.
    И это не отдельный вопрос. Использование математических выкладок в современной правовой системе сопряжено с затруднениями ничуть не в меньшей степени, чем в Риме много столетий назад. Одним из наиболее известных дел, служащих примером правильного и неправильного применения вероятности в юриспруденции, является дело «Штат против Коллинзов», слушания по которому проходили в 1968 г. в калифорнийском Верховном суде{45}. Вот выдержка из судебного решения:
    «18 июня 1964 г. около 11:30 миссис Хуанита Брукс, совершавшая покупки, шла вдоль переулка в Сан-Педро, г. Лос-Анджелес. За собой она катила тележку с плетеной корзиной, в которой лежали продукты, а поверх — кошелек. Миссис Брукс опиралась на трость. Когда она наклонилась, чтобы поднять пустую коробку, ее внезапно сбил человек — она не видела и не слышала его приближения. После падения миссис Брукс не сразу пришла в себя — она больно ударилась. Подняв голову, миссис Брукс успела заметить убегавшую молодую женщину. По словам миссис Брукс, женщина была среднего сложения, одета «во что-то темное», а о цвете волос миссис Брукс отозвалась как о «чем-то среднем между русым и светлой блондинкой», но светлее, чем волосы обвиняемой Джанет Коллинз, как выяснилось во время суда. Сразу после случившегося миссис Брукс обнаружила, что исчез ее кошелек, в котором было долларов 35 или 40.
    Примерно в то же самое время, как произошло ограбление, Джон Басс, живущий в том же переулке, только в самом конце, поливал газон перед домом. Его внимание привлекли «плач и крики». Он повернулся на звуки и увидел, как из переулка выбегает женщина и садится в желтую машину через дорогу. Машину тут же завели; она рванула, на скорости объезжая другую машину, и при этом проехала совсем рядом с Бассом. Басс заметил, что за рулем сидел негр с усами и бородой... Другие свидетели описывали машину как желтую, желтую с кремово-белым верхом, желтую с верхом цвета яичной скорлупы. О самой машине отзывались как о большой либо средних размеров».
    Через несколько дней после ограбления Лос-анджелесский полицейский заметил желтый «линкольн» с кремово-белым верхом — машина стояла у дома обвиняемых. Полицейский вступил с ними в разговор, объясняя, что расследует ограбление. Он отметил, что внешность подозреваемых соответствовала описанию свидетелей, за исключением бороды у мужчины, впрочем, мужчина сказал, что раньше носил бороду. В тот же день, только позднее, полиция арестовала подозреваемых, ими оказались Малькольм Рикардо Коллинз и его жена Джанет.
    Улик против подозреваемой пары было недостаточно, и дело строилось в основном на их опознании жертвой и свидетелем, Джоном Бассом. К несчастью для обвиняющей стороны, ни миссис Брукс, ни Джон Басс не годились в качестве главных свидетелей. Миссис Брукс не могла опознать Джейн как исполнителя преступления, а водителя машины вообще не видела. Джон Басс не видел саму преступницу, а из нескольких лиц, предъявленных к опознанию, не смог с уверенностью показать водителя. Казалось, дело разваливается.
    И тут появляется главный свидетель, который в бумагах суда записан всего лишь как «учитель математики из государственного колледжа». Этот свидетель сделал заявление: факта того, что обвиняемые были «белой женщиной со светлыми волосами, завязанными в хвост... {и} негром с бородой и усами», который сидел за рулем частично желтой машины, достаточно для признания пары виновной. Чтобы наглядно доказать свое утверждение, обвиняющая сторона представила следующую таблицу, слово в слово приведенную из решения суда:
   
    Учитель математики, выступавший со стороны обвинения, сказал, что к этим данным применимо правило умножения вероятностей. Умножая все вероятности, можно прийти к выводу, что шанс Коллинзов на соответствие всем этим четким характеристикам равен 1 из 12 млн. Соответственно, по словам обвинителя, можно заключить, что вероятность Коллинзов оказаться невиновными равна 1 из 12 млн. Затем обвинитель отметил, что эти отдельные вероятности являются оценочными показателями, и предложил присяжным высказать свои собственные догадки, а затем перейти к математическим подсчетам. Сам он, продолжал обвинитель, полагает, что показатели достаточно скромные; у него вероятность с учетом факторов приближается к 1 из млрд. Присяжные согласились и вынесли обвинительный приговор.
    Что здесь не так? Во-первых, как мы уже убедились, чтобы получить суммарную вероятность путем умножения отдельных вероятностей, эти отдельные вероятности должны быть независимыми друг от друга, а в данном случае это явно не так. К примеру, в таблице вероятность «негра с бородой» равна 1 из 10, а «мужчины с усами» — 1 из 4. Но большинство бородатых мужчин носят и усы, поэтому если был замечен «негр с бородой», вероятность того, что у наблюдаемого мужчины есть усы, уже не равна 1 из 4, она гораздо выше. Это несоответствие может быть устранено, если убрать категорию «негр с бородой». В таком случае согласно правилу умножения вероятностей получится 1 из 1 млн.
    Однако в анализе допущена и другая ошибка: вероятность, указанная выше, — что произвольно выбранная пара совпадет по описанию с описанием подозреваемых — не является искомой вероятностью. Скорее, это вероятность того, что пара, отвечающая всем приведенным характеристикам, является виновной. Первая вероятность может быть равной 1 из 1 млн. Что до второй, то при условии, что население района, прилегающего к району совершения преступления, составляет несколько миллионов, можно с достаточным основанием говорить о 2-3 парах, соответствующих описанию. В таком случае вероятность того, что пара, отвечающая описанию, виновна, основывается на одном только этом доказательстве (в принципе, единственном, имевшемся в распоряжении обвинения) и равна всего 1 из 2 или 3. И где здесь отсутствие обоснованного сомнения? В результате Верховный суд отменил решение об обвинительном приговоре.
    Применение принципов вероятности и статистики во время судебных заседаний наших дней все еще вопрос спорный. В деле Коллинзов калифорнийский Верховный суд осмеял так называемое «математическое разбирательство дела», однако не исключил возможности «корректного использования математических методов». В последующие годы в судах редко рассматривались доводы с использованием математических доказательств, но даже когда адвокаты с судьями и не прибегали к вероятности или математической теореме открыто, зачастую они все же использовали их при обосновании своих доводов, как и присяжные, когда оценивали доказательства. Более того, доводы с привлечением статистических данных становятся все более значимыми благодаря необходимости оценивать доказательства с привлечением анализа ДНК. К сожалению, все возрастающая необходимость не обернулась все возрастающим пониманием со стороны адвокатов, судей, присяжных. Томас Лайон, преподающий теорию вероятностей и право в Университете Южной Калифорнии, объясняет это так: «Очень немногие студенты-правоведы выбирают в качестве дополнительной дисциплины курс теории вероятностей, и очень немногие адвокаты считают, что такая теория вообще применима в юриспруденции»{46}. В области права, как нигде, благодаря пониманию теории случайности возможно докопаться до самой глубины, открыв истину, однако под силу это только тем, кто умеет пользоваться соответствующими методами. В следующей главе мы познакомимся с жизнью первого человека, взявшегося за систематическое изучение этих методов.

Глава 3. ПРОДИРАЯСЬ ЧЕРЕЗ ДЕБРИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

    Во второй половине XVI в. и до 1576 г. на улицах Рима можно было встретить странно одетого старика с неровной походкой, который время от времени что-то кричал, адресуя свои вопли непонятно кому. Когда-то он был знаменит по всей Европе — известный астролог, врач, лечивший придворную аристократию, профессор кафедры медицины в Университете Павии. Ему принадлежат изобретения, актуальные и поныне, в том числе первый замок с секретом и карданный вал, используемый в наше время в автомобилестроении. Он опубликовал 131 книгу по самым разным темам в философии, медицине, математике и прочих науках. Однако к 1576 г. он превратился в человека с богатым прошлым и без будущего, доживая свой век в забвении и унизительной бедности. В конце лета того года он в последний раз сел за стол и написал оду своему любимому сыну, старшему, которого казнили шестнадцать лет назад, в возрасте двадцати шести лет. Старик умер 20 сентября, когда до юбилея — семидесяти пяти лет — оставалось всего несколько дней. Он пережил двух из трех своих детей; пока он умирал, его единственный оставшийся в живых сын поступил на службу Инквизиции — пытать еретиков. Такое теплое местечко досталось ему в качестве награды за свидетельствование против своего же отца.
    Перед смертью Джероламо Кардано сжег 170 неопубликованных рукописей{47}. Те, кто просматривал потом вещи Кардано, нашли 111 сохранившихся рукописей. Одна из них, написанная несколько десятилетий тому назад, выглядела так, будто к ней не раз возвращались — это было исследование из тридцати двух главок. Называлось оно «Трактат об азартных играх» и было первым письменным трудом по теории вероятностей. Люди тысячелетиями сталкивались с различными факторами неопределенности, причем это были не только азартные игры. Получится ли у меня перейти пустыню до того, как кончится вся вода? Опасно ли оставаться под скалой, когда землю трясет вот как прямо сейчас? Означает ли улыбка этой пещерной девчонки, которая любит рисовать бизонов на скалах, что я ей приглянулся? И все же Кардано первым дал обоснованный анализ того направления, в котором развиваются игры или другие неопределенные процессы. Его проникновение в суть механизма действия вероятности обернулось принципом, который мы назовем законом пространства элементарных событий. Закон этот представил новую идею и новую методологию, он лег в основу математического описания неопределенности, которым стали пользоваться в последующие столетия. Методология проста, это аналог законов вероятности, которыми пользуются при погашении чековой книжки. Однако, применяя этот простой метод, мы сможем рассмотреть многие вопросы системно, в то время как иной, не системный подход породил бы лишь путаницу. Чтобы на деле показать и применение, и силу закона, рассмотрим одну задачу. Ее постановка проста, Да и решение не требует знаний высшей математики, Но об нее наверняка споткнулось больше народу, чем о любую другую задачу за всю историю изучения случайности. Если верить газетным публикациям, рубрика «Спросите Мэрилин» журнала «Парад» была просто-напросто обречена на феноменальный успех. Эта начатая еще в 1986 г. колонка вопросов и ответов, размноженная в 350 газетах общим тиражом в 36 млн, до сих пор привлекает читателей. Вопросы иногда оказываются не менее познавательными, чем ответы на них, это в своем роде опрос общественного мнения на тему того, что на уме у американцев. К примеру:
    Почему при окончании торгов на фондовой бирже все встают и, улыбаясь, аплодируют независимо от того, поднялись за день акции или опустились?
    Подруга беременна близнецами и знает, что оба будут мальчиками. Какова вероятность того, что хотя бы один младенец окажется девочкой?
    Когда вы за рулем и наезжаете на мертвого скунса, почему вонь от него доносится до вас аж десять секунд спустя? Предположим, вы на самом деле не переехали скунса.
    Судя по всему, американцы — народ весьма практичный. Следует отметить, что в каждом из вышеприведенных вопросов содержится определенная научная или в частности математическая составляющая, черта, присущая многим из вопросов, на которые в колонке дан ответ.
    Кто-нибудь, особенно тот, кто хоть немного знает о математике и науке вообще, может спросить: «А вообще кто она такая, эта всезнающая Мэрилин?» Так вот, Мэрилин это Мэрилин вос Савант, а знаменита она тем, что уже несколько лет значится в «Книге рекордов Гиннесса» как человек с самым высоким в мире коэффициентом интеллекта, равным 228. Также она известна тем, что замужем за Робертом Джарвиком, изобретателем искусственного сердца Джарвика. Однако иногда знаменитые люди, несмотря на все то, чего смогли добиться, остаются в памяти совсем по другим причинам, о которых им самим очень хотелось бы забыть («У меня не было связи с этой женщиной»). Так и с Мэрилин: ее наибольшая популярность связана с ответом на вопрос, который был опубликован в воскресном выпуске в сентябре 1990 г. (я чуть изменил формулировку):
    Предположим, участники теле-викторины должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими — по козе. Участник выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, за которой коза. Затем он говорит участнику: «Итак, вы смените дверь или останетесь на месте?» Вопрос в следующем: выгодно ли участнику сменить дверь?{48}
    Вопрос навеян теле-викториной «На что спорим?», которая шла с 1963 по 1976 гг., а также в несколько измененном виде с 1980 по 1991 гг. Немалую привлекательность передаче сообщали симпатичный, приятный ведущий Монти Холл и его помощница — соблазнительно одетая Кэрол Меррилл, в 1957 г. завоевавшая титул «Мисс Азуса[7]».
    Должно быть, автор передачи удивился, когда из 4.500 эпизодов за почти двадцать семь лет вещания именно вопрос на тему математической вероятности оказался самым ярким из всего, чтобы прозвучало в программе. Тема, что называется, обессмертила и Мэрилин, и теле-викторину: читатели буквально забросали редакцию издания, в котором печаталась колонка Мэрилин. Вообще-то, вопрос на первый взгляд незамысловатый. Остаются две двери — откроешь одну и выиграешь, откроешь другую и проиграешь, — так что очевидно: пойдешь ли ты на это или нет, твои шансы выиграть равны 50/50. Куда уж проще? Однако Мэрилин в своей колонке ответила: имеет смысл сменить дверь.
    Несмотря на пресловутую инертность общества там, где речь заходит о математике, читатели колонки отреагировали так, будто Мэрилин предлагала нечто ужасное, скажем, вернуть Калифорнию Мексике. В ответ на ее отрицание очевидного последовал шквал писем: по словам Мэрилин, она получила что-то около 10 тыс. откликов{49}. Если спросить американцев, согласны ли они, что растения выделяют в воздух кислород, что скорость света выше скорости звука, что радиоактивное молоко не станет безопасным для здоровья после кипячения, то в каждом случае число несогласных будет двузначным (13%, 24% и 35% соответственно){50}. Но в данном вопросе американцы продемонстрировали единодушие: 92% заявили о том, что Мэрилин ошиблась.
    Многие читатели почувствовали себя обманутыми в лучших чувствах. Как могла та, чьим ответам по самым разным вопросам они верили, споткнуться на таком простом вопросе? Или ее ошибка типична как символ вопиющего невежества американцев? Мэрилин написали тысяча докторов наук, преподающих математику — они-то как раз и возмущались больше всех{51}. «Какая чушь!», писал один математик из Университета Джорджа Мейсона:
    «Поясняю: Если за одной из трех дверей машины не оказалось, то вероятность выигрыша при оставшихся двух дверях меняется и равна 1 /2, причем ни один из вариантов не имеет большую вероятность. Как математик я очень огорчен общим низким уровнем математических способностей населения. Поэтому призываю вас помочь повысить этот уровень, признав свою ошибку, и впредь быть более аккуратной».

    Из Дикинсонского университета штата пришло такое письмо: «Меня потрясает то, что после поправок по крайней мере троих математиков вы по-прежнему не видите свою ошибку». Из Джорджтаунского такое: «Сколько писем от разгневанных математиков вам еще нужно, чтобы передумать?» А кто-то из Исследовательского института вооруженных сил США заметил: «Если все эти доктора наук ошибаются, будущее нашей стране вызывает серьезные опасения». Отклики продолжали приходить в таких количествах и еще столько времени, что Мэрилин сдалась. В своей колонке она какое-то время еще отвечала на письма, но в конце концов перестала.
    Возможно, что тот офицер, который написал про докторов наук и будущее страны, и прав: возможно, это тревожный сигнал. Но вот в чем дело: Мэрилин в самом деле была права. Когда Полу Эрдешу, известнейшему математику двадцатого столетия, сказали об этом, он заявил: «Это невозможно». И уже ознакомившись с математическим доказательством правильности ответа, все равно стоял на своем, даже рассердился. Только когда коллеги настояли на компьютерном моделировании ситуации, в результате чего Эрдеш стал свидетелем сотни вариантов с результатом 2 к 1 в пользу смены двери, ученый сдался, признав свою неправоту{52}.
    Как может нечто, что кажется таким очевидным, на деле оказаться неверным? По словам гарвардского профессора, занимающегося теорией вероятностей и статистикой, «нашему мозгу затруднительно решать задачи на тему теории вероятностей»{53}. Великий американский физик Ричард Фейнман однажды сказал мне, что не стоит думать, будто я понимаю физику, если при этом я всего лишь прочитал результаты чужих размышлений. Единственный способ разобраться в теории, сказал он, это пройти весь путь самому (а может статься, и опровергнуть утверждение!). Для тех из нас, кто не является Фейнманом, подобное опровержение работы, сделанной другими, грозит увольнением и дальнейшими умствованиями в процессе подметания дворов. Однако задачу Монти Холла вполне по силам решить и тому, кто не отягощен высшим математическим образованием. Тут не требуется знаний ни численных методов, ни геометрии с алгеброй, нет нужды даже в амфетаминах, к которым, как говорят, питал пристрастие Эрдеш. (Якобы однажды Эрдеш не принимал их целый месяц, после чего заметил: «Прежде, когда я смотрел на чистый лист бумаги, у меня в голове роились идеи. Теперь же я только и вижу, что чистый лист бумаги»{54}). Требуется лишь общее понимание принципа действия вероятности, а также закона пространства элементарных событий, необходимого для анализа ситуации с вероятностями, который впервые был записан в XVI в. и автор которого — Джероламо Кардано.

    Джероламо Кардано вовсе не был бунтарем-одиночкой, отколовшимся от европейской интеллектуальной среды XVI в. Он так же, как и многие, верил, что собака воет к смерти близкого человека, а вороны на крыше своим карканьем возвещают о скором тяжком недуге. Он, как и многие, верил в фатум, удачу, знаки судьбы, зашифрованные в положении звезд и планет. И все же, играй Кардано в покер, он никогда не стал бы добирать и добирать карту. Кардано был прирожденным игроком. Он не высчитывал ходы, он их чувствовал, поэтому у него понимание математических связей между возможными случайными результатами игры пересилило веру в то, что из-за влияния судьбы любые попытки проникновения в суть тщетны. Кроме того, в своем трактате Кардано поднялся выше того примитивного уровня, на котором находилась математика его дней — в начале XVI в. не то что алгебра, арифметика переживала каменный век, еще не появился даже знак равенства.
    Кардано оставил свой след в истории; многое о нем известно из его автобиографии, а также записок современников. Некоторые из этих записок противоречивы, однако ясно одно: родившийся в 1501 г. Джероламо поначалу ничем не блистал. Его мать, Кьяра, детей не любила, хотя и имела уже троих мальчиков. Возможно, потому и не любила. Кьяра отличалась невысоким ростом, полнотой, вспыльчивым характером и неразборчивостью в связях; узнав о том, что беременна Джероламо, она решила приготовить нечто вроде противозачаточной таблетки тех времен: варево из полыни, поджаренного ячменного зерна и корня тамариска. Варево она выпила в надежде, что удастся избавиться от плода. Ей стало дурно, однако Джероламо в утробе ничуть не пострадал от тех продуктов обмена веществ, которые благодаря вареву попали в кровь матери. Кьяра еще не раз пыталась избавиться от Джероламо, но безуспешно.
    Кьяра и отец Джероламо, Фачио Кардано, не были официально женаты, однако вели себя как настоящая супружеская пара — их громкие перебранки разносились далеко по округе. Жили они в Милане. За месяц до рождения Джероламо мать ушла из дома к своей сестре в Павию, что в тридцати километрах к югу от Милана. Джероламо родился после трех дней болезненных схваток. Наверняка, едва глянув на младенца, Кьяра решила в конце концов избавиться от него. Он был болезненным и, что еще хуже, не подавал голоса. Повитуха, принимавшая у Кьяры роды, сказала, что младенец не проживет и часа. Но если Кьяра подумала «Вот и хорошо!», то ее в очередной раз ждало жестокое разочарование, потому как кормилица отогрела Джероламо в ванне с теплым вином — он ожил. Однако здоровья ему хватило лишь на первые несколько месяцев. Потом его, а также кормилицу и троих братьев свалила чума. Под чумой, или иначе «черной смертью», как ее иногда называли, на самом деле имеют в виду три разных заболевания: чуму бубонную, легочную и септическую. Джероламо подцепил бубонную, самую распространенную, названную так по бубонам — болезненным, размером с яйцо воспалениям в лимфатических узлах — отличительным симптомам болезни. Как только бубоны открывались, больному оставалось жить с неделю, не больше.
    «Черная смерть» впервые проникла в Европу в 1347 г. через залив в Мессине на северо-востоке Сицилии — ее принесла возвращавшаяся с Востока генуэзская флотилия{55}. Суда тут же поставили на карантин, и вся команда умерла прямо на борту. Однако крысы с кораблей выжили, они спешно переправились на берег, неся на себе и бактерии, и блох-разносчиков. В результате разразившейся эпидемии за два месяца вымерло полгорода, а в конечном счете — от 25% до 50% населения Европы. Впоследствии эпидемии из столетия в столетие возвращались, унося жизни европейцев. Для Италии 1501 г. оказался особенно страшным. Кормилица Джероламо и его братья умерли. Он же, счастливчик, отделался лишь физическими изъянами: бородавками на носу, лбу, щеках и подбородке. На роду ему написано было дожить до глубокой старости — семидесяти пяти лет. Юные же годы Джероламо не были спокойными, его часто поколачивали.
    Отец Джероламо наладил ловкий бизнес. Некогда он состоял в приятельских отношениях с Леонардо да Винчи, а по роду деятельности занимался геометрией, которая и в те времена не приносила больших денег. Фачио иной раз нечем было заплатить за жилье, и он открыл контору, оказывая людям знатного происхождения услуги в области права и медицины. Контора его стала процветать, чему способствовало и то, что Фачио объявил себя наследником брата Джофредо Кастильони из Милана, более известного как папа Целестин IV. Когда Джероламо исполнилось пять лет, отец в некотором смысле начал приобщать его к своему делу. А именно: привязывал к спине сына короб, совал туда тома по юриспруденции и медицине и таскал мальчишку на встречи со своими покровителями по всему городу. Позднее Джероламо писал, что «время от времени отец приказывал мне остановиться посреди улицы, доставал из короба фолиант и, используя мою голову в качестве подставки, читал целые отрывки, пиная меня, если я уставал и начинал переминаться с ноги на ногу под такой тяжестью{56}».
    В 1516 г. Джероламо решил податься в медицину. Он объявил, что собирается покинуть семью и отправиться на учебу в Павию. Фачио, конечно же, хотел, чтобы сын изучал право — в таком случае ему ежегодно выплачивали бы стипендию в 100 крон. После жуткого семейного скандала отец сдался, но по-прежнему не решен был вопрос: на что Джероламо будет жить в Павии без стипендии? Джероламо начал копить деньги, зарабатывая на чтении гороскопов, частных Уроках по геометрии, алхимии, астрономии. Кроме того, Джероламо заметил, что в азартных играх ему сопутствует удача, к тому же игра приносила гораздо больше, чем любые другие занятия.
    Для тех, кто во времена Кардано испытывал страсть к азартным играм, везде был Лас-Вегас. Повсюду заключали пари, будь то карты, кости, нарды, даже шахматы. Кардано все игры делил на два типа: те, которые требовали применения некой стратеги или умения, и те, победа в которых зависела от чистой случайности. Возьмись Кардано за шахматы, он бы рисковал тем, что его мог обыграть какой-нибудь Бобби Фишер тех времен. Когда же он ставил на парочку кубиков, шансы его были такими же, как и у остальных. Но даже в этих играх Джероламо добился преимущества — он лучше других разобрался в вероятности выигрыша в разных ситуациях. И вот, вступая в мир, где заключают пари, Джероламо стал играть в игры, выигрыш в которых зависел от случая. Прошло немного времени, и он скопил на учебу 1 тыс. крон — в десять раз больше той стипендии, которую хотел для него отец. В 1520 г. Джероламо записался студентом в университет в Павии. И вскоре приступил к работе над теорией азартных игр.

    Кардано жил в XVI в., и у него было преимущество — он понимал многое из того, что древние греки в силу своей древности не знали, как не знали римляне, и в чем индийцы делали лишь первые шаги, пользуясь арифметикой как эффективным инструментом. Именно последние развили позиционную систему счисления по целочисленному основанию 10, которая стала общепринятой около 700 г. н.э.{57} Они же совершили большой прорыв в арифметике дробей, что просто неоценимо для анализа вероятностей, поскольку вероятность того, что событие произойдет, всегда меньше единицы. От индийцев эти знания переняли арабы, а уже от арабов они перешли к европейцам. Первые сокращения — р для «плюса» и m для «минуса» — начали использовать с XV в. Символы «+» и «-» ввели примерно в то же время германцы, но только для того, чтобы обозначать избыточность и недостаточность товаров. Так что легко представить, с какими трудностями пришлось столкнуться Кардано; к тому же и знак равенства еще не существовал, его изобрел в 1557 г. Роберт Рекорд из Оксфорда и Кембриджа. Роберт Рекорд, вдохновленный геометрией, заметил: ничто не выражает идею равенства так полно, как две параллельные прямые; таким образом, было решено использовать их в качестве обозначения равенства. А символ «х», то есть умножение, изобретение которого приписывают англиканскому священнику, появился только в XVII в.
    В своем «Трактате об азартных играх» Кардано касается и карточных игр, и костей, и нард, и даже игры в «бабки». Трактат, конечно, не совершенен. Он отражает характер самого Кардано, его безумные идеи, необузданный нрав, ту страсть, с которой он брался за каждое свое предприятие, а зачастую и перипетии его жизни в те непростые времена. В «Трактате» рассматриваются только процессы — подбрасывание кости или манипуляции с игральными картами, — в которых один исход так же вероятен, как и другой. И кое в чем Кардано заблуждается. Но все же «Трактат об азартных играх» — это поворотный момент, первый успех в исканиях человечества, пытающегося понять природу неопределенности. Метод, с помощью которого Кардано энергично взялся за решение вопросов вероятности, удивительно действенный и в то же время простой.
    Не все главы «Трактата» Кардано посвящены техническим моментам. К примеру, глава 26 называется «В самом ли деле те, кто способен научить, так же хорошо играют сами?» (Кардано делает вывод: «Выходит, одно дело знать, и совсем другое — применить на практике».) Глава 29 называется «О характерах игроков». («Есть и такие, которые своим многословием затуманивают ум и себе, и другим».) Это уже больше похоже на «Дорогую Эбби»[8], нежели на «Спросите Мэрилин». Но есть и глава 14 «Об общих точках» (речь идет о вероятностях). И в ней Кардано выводит, по его словам, «общее правило» — наш закон пространства элементарных событий.
    Термин «пространство элементарных событий» подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство заключает в себе всего несколько точек, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как то пространство, в котором мы живем. Кардано, конечно же, не употреблял термина «пространство»: понятие о том, что набор чисел может формировать пространство, появилось лишь столетие спустя, у Декарта, который изобрел систему координат и унифицировал символику алгебры и геометрии.
    На современном языке правило Кардано звучит следующим образом: «Предположим, случайный процесс имеет множество одинаково вероятных исходов: некоторые из них благоприятны (то есть ведут к выигрышу), некоторые неблагоприятны (то есть проигрышные). Вероятность благоприятного исхода равна доле благоприятных исходов. Множество всех возможных исходов образует пространство элементарных событий». Другими словами, брошенный кубик опускается на любую из шести своих сторон, и эти шесть исходов формируют пространство элементарных событий. Если вы ставите пари на, скажем, два из них, ваши шансы выиграть равны 2 из 6.
    Скажем пару слов о предположении, будто все исходы в одинаковой степени вероятны. Очевидно, что это не всегда так. Пространство элементарных событий в плане веса Опры Уинфри в зрелом возрасте вмещает в себя (так уж сложилось исторически) от 66 до 107 кг, и с течением времени не все весовые промежутки оказались в одинаковой степени вероятными{58}. То осложнение, что разные возможности имеют разные вероятности, можно учесть, соотнеся соответствующие шансы с каждым возможным исходом, то есть произвести точный подсчет. Однако пока что рассмотрим примеры, в которых все исходы в одинаковой степени вероятны — именно их и анализировал в своей работе Кардано.
    Эффективность правила Кардано неразрывно связана с некоторыми тонкостями. Одна из них заключается в значении термина «исходы». Уже в XVIII в. известный французский математик Жан Лерон Д'Аламбер, автор ряда работ в области теории вероятностей, допустил неверное употребление этого понятия, когда анализировал процесс подбрасывания двух монет{59}. Число орлов, которые выпадают при этом, может равняться 0, 1 или 2. Поскольку получается три исхода, Д'Аламбер решил, что шансы каждого равны 1 из 3. Однако он ошибся.
    Одним из серьезнейших недостатков работы Кардано было то, что он не предпринял систематического анализа разных способов, путем которых ряд исходов, таких как подбрасывание монет, могут произойти. Как мы увидим в следующей главе, этого анализа не сделал никто вплоть до следующего столетия. В то время как такие события, как подбрасывания двух монет, не отличаются сложностью и к ним вполне применимы методы Кардано. Ключевым моментом является понимание того, что возможные исходы подбрасывания монет — это данные, описывающие то, как монеты падают, а не общее количество орлов, вычисленное исходя из этих данных, как заключает Д'Аламбер. Другими словами, нам следует рассматривать не 0,1 или 2 орла в качестве возможных исходов, а скорее последовательности: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел) и (решка, решка). Эти 4 возможных комбинации и составляют пространство элементарных событий.
    Далее, если следовать трактату Кардано, следует рассортировать исходы, отметив число орлов, полученное в каждом исходе. Только 1 из 4 исходов — (орел, орел) — дает 2 орла. Таким образом, только исход (решка, решка) дает 0 орлов. Если нам нужен 1 орел, то 2 из всех исходов будут благоприятными: (орел, решка) и (решка, орел). Итак, метод Кардано доказывает ошибочность утверждений Д'Аламбера: шансы равны 25% для 0 или 2 орлов, но 50% для 1 орла. Поставь Кардано свои наличные на 1 орла как 2 к 1, он бы проиграл только в половине случаев, но утроил бы свою сумму в другой половине. Неплохая возможность для парня того времени, пытающегося наскрести на учебу, впрочем, как и в наше время, если бы только представилась такая возможность.
    Подобная задача часто встречается в рамках курса по элементарной вероятности, и речь в ней о двух дочерях, причем задача похожа на ту, которую я уже упоминал в связи с колонкой «Спросите Мэрилин». Предположим, будущая мать носит близнецов и хочет знать, какова вероятность того, что родятся две девочки, мальчик и девочка и так далее. В таком случае пространство элементарных событий состоит из всех возможных комбинаций полов детей согласно очередности их рождения: (девочка, девочка), (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (мальчик, мальчик). Все то же самое, как и в случае с задачей о подбрасывании монет, только названия меняются: вместо орла у нас «девочка», вместо решки «мальчик». У математиков есть занятное название для ситуации, в которой одна задача является по сути замаскированной другой задачей — изоморфизм. Когда вы наталкиваетесь на случай изоморфизма, жить сразу становится проще. В данном случае подразумевается, что мы можем высчитать вероятность рождения двух девочек точно так же, как мы высчитали вероятность того, что обе монеты упадут орлами. Так что без всякого там предварительного анализа можно дать ответ: 25%. И уже потом ответить на тот вопрос, который был напечатан в колонке Мэрилин: вероятность того, что хотя бы один из младенцев окажется девочкой, равна вероятности того, что оба ребенка родятся девочками плюс к этому вероятности того, что лишь один ребенок окажется девочкой. То есть, 25% плюс 50%. Выходит 75%.
    В задаче о двух дочерях обычно фигурирует еще один вопрос: какова вероятность того, что оба ребенка окажутся девочками, при условии, что про одного ребенка уже точно известно — это девочка? Кое-кто станет рассуждать таким образом: поскольку уже дано, что один ребенок — девочка, следует рассматривать лишь другого ребенка. Вероятность того, что этот другой ребенок окажется девочкой, равна 50%, так что вероятность появления на свет двух девочек равна 50%.
    Что неверно. Почему? Хотя в формулировке задачи и сказано, что один ребенок — девочка, не уточняется, который из двоих, а это важно. Если вас такое утверждение сбивает с толку, ничего страшного — сейчас я продемонстрирую вам, как метод Кардано чудесным образом все проясняет.
    Новая информация — о том, что один из младенцев — девочка, — означает, что мы исключаем из рассмотрения возможность того, что оба младенца — мальчики. Таким образом, применяя подход Кардано, мы исключаем возможный исход (мальчик, мальчик) из пространства элементарных событий. В нем остаются только 3 исхода: (девочка, мальчик), (мальчик, девочка) и (девочка, девочка). Из этих исходов исход (девочка, девочка) благоприятный, то есть оба младенца рождаются девочками, поэтому вероятность того, что оба ребенка родятся девочками, равна 1 из 3 или 33%. Теперь-то мы понимаем всю важность момента: в задаче не говорится, который из младенцев девочка. К примеру, если бы в задаче спрашивалось: какова вероятность того, что оба младенца родятся девочками, при условии, что первый ребенок — девочка, мы исключили бы из пространства элементарных событий и пару (мальчик, мальчик), и пару (мальчик, девочка), а вероятность равнялась бы 1 из 2, то есть 50%.
    Надо отдать должное Мэрилин вос Савант — она не только предприняла попытку привить широкой общественности элементарные знания о теории вероятностей, но и продолжила публиковать подобные вопросы, несмотря на непростой опыт с задачей Монти Холла. Напоследок рассмотрим еще один вопрос из ее колонки, на этот раз датированный мартом 1996 г.:
    «Мой отец услышал это по радио. В Университете Дьюка двое студентов в течение всего семестра получали по химии высшие баллы. Но вечером перед выпускным тестом они были на вечеринке в другом штате, а вернулись только на следующий день, когда экзамен уже закончился. В качестве оправдания они рассказали профессору про лопнувшую шину и попросили разрешения все же написать тест. Профессор согласился, составил для них вопросы и рассадил обоих студентов по разным аудиториям. За правильный ответ на первый вопрос (на одной стороне листа) давалось 5 баллов. Студенты перевернули листы и обнаружили на оборотной стороне вопрос, за правильный ответ на который давалось 95 баллов. Вот он: «На котором из колес лопнула шина?» Какова вероятность того, что оба студента ответят одинаково? Мы с отцом решили, что 1 из 16. Верно{60}

    Нет, не верно. Если студенты солгали, вероятность того, что они напишут один и тот же ответ, равна 1 из 4 (если вам непонятно, почему это так, загляните в примечания в конце книги{61}). А вот теперь, когда мы уже привыкли к тому, чтобы разбирать задачу, составляя список возможных исходов, можно воспользоваться законом пространства элементарных событий и решить задачу Монти Холла.

    Как я уже говорил, чтобы решить задачу Монти Холла, не нужно обладать особыми познаниями в математике. Однако необходимо некоторое умение мыслить логически, так что если вы одним глазом читаете эти строки, а другим смотрите повтор «Симпсонов», вам наверняка придется сосредоточиться на чем-то одном. Не переживайте, много времени это не займет — всего несколько страниц.
    В задаче Монти Холла фигурируют три двери: за одной нечто ценное, скажем, шикарная красная «Мазерати», за двумя другими — нечто гораздо менее интересное, скажем, полное собрание сочинений Шекспира на сербском. Вы выбрали дверь 1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:
    • «Мазерати» за дверью 1.
    • «Мазерати» за дверью 2.
    • «Мазерати» за дверью 3.
    Вероятность каждого исхода — 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство все-таки выберет «мазерати», первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.
    Далее по сценарию ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что за дверью собрание сочинений Шекспира. Поскольку, открывая эту дверь, ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местонахождение «мазерати», данный процесс нельзя назвать случайным в прямом смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.
    Первый — вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем «Троила и Кресиды» на чакавском диалекте[9]. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего лишь 1 из 3.
    Второй — вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». Как «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» «мазерати» находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой такой — томики Шекспира на сербском. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает не-выбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с «мазерати», он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит это шикарное авто. Из-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.
    В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность которой 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. Итак, ваше решение сводится к догадке: в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узлами с помощью одной только силы мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь. Вот и статистика телепередачи подтверждает: те, кто оказывался в подобной ситуации и изменял свое первоначальное решение, выигрывали примерно в два раза чаще, чем те, кто стоял на своем.
    Задача Монти Холла трудна для восприятия, потому что тут нужно хорошенько подумать, иначе роль ведущего (прямо скажем, как роль мамы в нашей жизни) останется недооцененной. В то время как ведущий направляет игру в определенное русло. Роль ведущего станет очевидной, если мы предположим, что вместо 3 дверей у нас их 100. Вы, как и прежде, выбираете дверь 1, однако теперь ваша вероятность угадать равна 1 из 100. А шансы того, что «мазерати» спрятана за одной из оставшихся дверей, равны 99 из 100. Как и прежде, ведущий открывает все двери, кроме той, которую вы не выбрали, при этом не открывая ту самую дверь, за которой находится «мазерати» (если, конечно, такая дверь остается). После этого шансы того, что «мазерати» скрывается за дверью, которую выбрали вы, равны по-прежнему 1 из 100, а шансы того, что «мазерати» находится за другой дверью, все так же равны 99 из 100. Но теперь благодаря вмешательству ведущего остается только одна дверь, представляющая все 99 тех, других дверей, и таким образом вероятность нахождения «мазерати» за этой оставшейся дверью равняется 99 из 100!
    Возникни задача Монти Холла во времена Кардано, интересно, чью бы позицию тот занял: Мэрилин вос Савант или Поля Эрдеша? Задача легко решается с помощью закона пространства элементарных событий, однако сказать наверняка мы все равно не можем, поскольку самое раннее упоминание о подобной задаче (под другим названием) возникает в 1959 г., в статье Мартина Гарднера в «Сайентифик Америкэн»{62}. Гарднер назвал задачу «поразительной, сбивающей с толку задачей» и заметил, что «ни в одной другой области математики не совершают досадных промахов с такой легкостью, как в области теории вероятностей». Конечно, для математика досадный промах чреват разве что конфузом, а вот для игрока это вопрос, скажем прямо, жизненно важный. Поэтому нет ничего удивительного в том, что когда дело дошло до первой систематически изложенной теории вероятностей, именно Кардано как заядлый игрок и решил разобраться в ней.

    Однажды, когда Кардано был еще подростком, у него внезапно умер друг. Прошло всего несколько месяцев, и Кардано заметил, что никто о друге больше и не вспоминает. Что его порядком опечалило, оставив отпечаток в душе. Как можно справиться с тем, что жизнь преходяща? И Кардано решил, что единственный способ — оставить после себя что-то: наследников, труды на века, а может, и то, и другое. В своей автобиографии Кардано пишет о том, что развивает в себе «непоколебимое стремление» оставить след на земле{63}.
    Выучившись на врача, Кардано вернулся в Милан и стал подыскивать работу. Еще во время учебы он написал труд «О разных взглядах на врачей», в котором по сути дела обозвал всех представителей медицины кучкой шарлатанов. И Миланский университет отплатил Кардано той же монетой, не дав ему места. Это значило, что он не мог заниматься врачебной практикой в Милане. На деньги, заработанные частными уроками и азартными играми, Кардано купил домишко на востоке страны, в Пиове-ди-Сакко. Он надеялся, что в этом городке дела у него пойдут хорошо, потому что там часто случались эпидемии, а врача не было. Однако, проводя свое маркетинговое исследование, Кардано совершил роковую ошибку: врача в городишке не было потому, что население предпочитало обращаться к знахарям и священникам. В результате по прошествии нескольких лет напряженной работы и учебы Кардано оказался с мизерным доходом и уймой свободного времени. Такая передышка в жизни выпала как нельзя кстати — Кардано воспользовался возможностью и взялся за перо. Одной из его работ и оказался «Трактат об азартных играх».
    В 1532 г., проведя пять лет в Пиове-ди-Сакко, Кардано вернулся в Милан: он надеялся опубликовать свою работу и, кроме того, снова подал прошение о членстве в гильдии врачей. И в одном, и в другом он потерпел сокрушительное поражение. «В те дни, — писал Кардано, — я до того пал духом, что ходил к гадалкам и магам в надежде выпутаться из моих многочисленных затруднений»{64}. Один маг обнаружил в его жизни пагубное влияние Луны. Другой дал рекомендацию трижды чихнуть сразу после пробуждения утром и постучать по дереву. Кардано выполнял все предписания, но ему по-прежнему не везло. И вот под покровом ночи, накинув капюшон, он проникал в дома тех больных, которые не могли заплатить установленную гильдией врачей плату или же никак не поправлялись. В автобиографии Кардано писал, что в дополнение к деньгам от подпольной врачебной практики «вынужден был снова вернуться к азартным играм, чтобы содержать жену, и здесь-то мои знания одолели судьбу — у нас появились деньги на еду и жилье, хотя последнее и оставляло желать много лучшего»{65}. Что до «Трактата об азартных играх», то хотя в последующие годы Кардано неоднократно пересматривал его и исправлял, он уже не пытался напечатать работу. Возможно, понимал: глупо учить других играть так же хорошо, как он сам.
    В конце концов Кардано добился своей цели — обрел и наследников, и славу — да вдобавок ко всему и неплохие деньги. У него завелись средства, когда он опубликовал книгу на основе своей еще студенческой работы, изменив при этом наукообразное название «О разных взглядах на врачей» на более живое: «О повсеместно укоренившейся недобросовестной медицинской практике». Книга вмиг разошлась. Затем один из его тайных пациентов, настоятель известного августинского монашеского ордена, внезапно (и скорее всего по чистой случайности) пошел на поправку, что было приписано умелому лечению Кардано. Итак, слава Кардано как искусного врача взлетела до таких высот, что его не только приняли в гильдию врачей, но и предложили должность ректора в колледже. Кардано тем временем опубликовал еще несколько трудов, и они пользовались успехом, особенно тот, который из соображений сделать более понятным для широкой общественности назвали «Практическая арифметика». Еще через несколько лет Кардано издал уже научный труд «Ars magna», или «Великое искусство», — трактат по алгебре. В трактате Кардано впервые дал четкое представление об отрицательных числах и произвел анализ некоторых алгебраических уравнений, завоевав тем самым еще большую известность. В середине 1550-х гг., когда Кардано было за пятьдесят, он уже всего добился: и кафедры медицины в Университете Павии, и богатства.
    Но вскоре удача от него отвернулась. Если говорить в общем, то Кардано пострадал от своего же наследия — от детей. Дочь Кьяра (названная так в честь матери) в шестнадцать лет соблазнила старшего брата, Джованни, и забеременела от него. Аборт был сделан удачно, однако в будущем Кьяра не могла иметь детей. Что, впрочем, устраивало ее как нельзя лучше, потому как она отличалась крайней распущенностью, причем даже после замужества, и в конце концов заразилась сифилисом. Джованни пошел по стопам отца, поступив учиться на врача, однако вскоре приобрел большую известность как мелкий мошенник, причем настолько большую, что некая семейка проходимцев шантажом заставила его жениться на своей дочери — якобы имелись доказательства того, что Джованни отравил некого чиновника. Тем временем Альдо, младший сын Кардано, в детстве истязавший животных, превратил свое любимое занятие в профессию — поступил на службу к Инквизиции пытать еретиков. Как и старший брат, он подрабатывал мошенничеством.
    Через несколько лет после женитьбы старший сын Кардано дал одному из слуг некую микстуру — чтобы тот добавил ее в пирог для жены. Жена после съеденного десерта упала замертво. Власти догадались, что к чему. Джероламо потратил уйму денег на адвокатов, пытался задействовать свои связи, свидетельствовал в пользу сына, но ничего не помогло — молодого Джованни казнили в тюрьме. Пробоина в финансах Кардано, а также его подмоченная репутация сделали его уязвимым для старых врагов. Власти Милана вычеркнули имя Кардано из списка тех, кому разрешалось читать лекции, обвинили его в содомии и инцесте, изгнали из города. Когда в конце 1563 г. Кардано уезжал из Милана, он написал в автобиографии, что «снова оказался в нищете, без средств, без источника существования, без права снимать дом и продавать свои книги»{66}. К тому времени у него стало плохо с головой — временами он начинал бессвязно бормотать. Последний удар ему нанес математик-самоучка Никколо Тарталья, недовольный тем, что в «Высоком искусстве» Кардано раскрыл его метод решения некоторых уравнений без его на то ведома. Тарталья подговорил Альдо дать свидетельские показания против своего отца, обещая за то место в Инквизиции — пытать и казнить еретиков в Болонье. Кардано недолго просидел в тюрьме — последние свои годы он тихо доживал в Риме. «Трактат об азартных играх» был все же напечатан, но уже в 1663 г., спустя сто лет после того, как юный Кардано изложил свое исследование на бумаге. К тому времени его аналитические методы были изобретены заново и усовершенствованы.

Глава 4. ПРОКЛАДЫВАЯ ПУТЬ К УСПЕХУ

    Если бы средневековый игрок в азартные игры понял математические выкладки Кардано в области теории вероятностей, он заработал бы неплохие деньги, играя с менее искушенными напарниками. В наши дни Кардано прославился бы и разбогател на книжках вроде «Игры в кости с новичками: пособие для „чайников"». Но в XVI в. работа Кардано осталась незамеченной, а его «Трактат об азартных играх» вышел в свет через много лет после смерти самого автора. Почему же «Трактат» остался практически без внимания? Мы уже говорили о том, что одним из затруднений было отсутствие разработанной системы алгебраических записей. Во времена Кардано она начала развиваться, но все еще находилась в зачатке. Однако оставался еще один барьер, который только предстояло преодолеть: Кардано жил во времена, когда магическим заклинаниям доверяли больше, нежели математическим формулам. Люди той эпохи не стремились упорядочить природу, описать ее феномены в числах, поэтому теория влияния случайности на эти самые феномены была обречена на непонимание. Как потом оказалось, проживи Кардано еще лет двадцать-тридцать, он бы и труды свои написал иначе, да и приняли бы их совсем по-другому, поскольку через несколько десятилетий после его смерти в мышлении и верованиях европейцев произошли перемены исторического масштаба. Они получили название научной революции.
    Революция была своего рода бунтом против того образа мысли, который господствовал в Европе, расстававшейся со Средними веками: в те времена представления о мире не подвергались глубокому исследованию и систематизации. В одном городе торговцы украли одежду у повешенного — они верили, что эго повысит их продажи пива. Прихожане другого города верили, что можно излечиться от заболевания, если нагишом обойти вокруг церковного алтаря, распевая всякие богохульства{67}. Один коммерсант старался не справлять нужду в «не том» туалете, считая, что туалет этот приносит неудачу. Вообще-то, коммерсант был биржевым трейдером, он поделился своей тайной с журналистом из Си-эн-эн в 2003 г.{68} Да, некоторые до сих пор верят в приметы, однако на сегодняшний день для любознательных существуют хотя бы научные объяснения, доказывающие или отрицающие эффективность соблюдения этих примет. Если современник Кардано выигрывал в кости, причем без применения математического анализа, он произносил благодарственную молитву, ну или считал, что ему помогли «счастливые» носки, и впредь не стирал их. Сам Кардано считал, что полосы неудачи случаются по причине «потери благосклонности судьбы» и что один из способов вернуть удачу — удачно сыграть в кости. Если в руке зажата счастливая «семерка», к чему вся эта возня с математикой?
    Большинство считает, что началась научная революция в 1583 г, всего через семь лет после смерти Кардано. Легенда гласит, что именно в этом году в Пизанском университете на лекции сидел один студент, который вместо того, чтобы внимать словам службы, смотрел на нечто гораздо более занимательное: на подвесную вращавшуюся лампу. Используя свой пульс в качестве таймера, студент, Галилео Галилей, заметил: время, за которое лампа проходит большую дугу, равно времени, за которое она проходит малую дугу. Из этого наблюдения родился закон: период колебаний маятника не зависит от его амплитуды. Наблюдения Галилео отличались точностью и практичностью, они были простыми, но знаменовали собой новый подход к описанию физических явлений: наука, исследуя законы природы, стала основываться на опыте и эксперименте, а не на интуитивных догадках и отдельных умозаключениях. Однако самое главное в том, что эти опыты и эксперименты стали проводиться с помощью математических вычислений.
    Исходя из своих научных знаний, Галилео написал небольшую работу об азартных играх: «Размышления на тему игры в кости». Работа была напечатана по заказу покровителя Галилео, герцога Тосканского. Герцога интересовал вопрос: почему при броске трех костей чаще выпадает 10, чем 9? Вероятность такой ситуации равна всего лишь примерно 8%, ни 10, ни 9 не выпадает слишком часто. Видимо, герцог много играл, раз подметил такую небольшую разницу, и вполне возможно, что на самом деле он нуждался не в уме Галилео, а в пошаговой программе избавления от зависимости. Неизвестно, почему, но Галилео тема не вдохновила. Однако как любой советник, который хочет сохранить за собой место, он оставил свое недовольство при себе и выполнил заказ.
    Если бросить один кубик, шансы того, что выпадет любая конкретная цифра, равны 1 из 6. Однако если бросить два кубика, шансы в сумме уже не равны. Например, для суммы кубиков, равной 2, существует 1 шанс из 36, однако шанс увеличивается в два раза, если сумма равна 3. Причина в том, что сумму 2 можно получить только одним способом: подбросив два кубика, которые выпадут единицами, но сумму 3 можно получить уже двумя способами: подбросив два кубика, которые выпадут единицами; подбросив кубики так, чтобы выпали 1 и 2 (или 2 и 1). Таким образом, мы продвигаемся еще дальше в понимании случайных процессов, которые и составляют тему данной главы: развитие систематических методов анализа числа способов тех или иных исходов.

    Ошибку герцога можно обнаружить, если подойти к проблеме с позиций талмудиста: чем пытаться объяснить, почему 10 выпадает чаще, чем 9, лучше задаться вопросом: а почему 10 должна выпадать чаще, чем 9? Появляется соблазн — поверить, что два кубика должны выпадать в сумме 10 и 9 с одинаковой частотой: и 10, и 9 можно представить 6 способами, в зависимости от того, как упадут три кубика. Для 9 можно записать такие способы следующим образом: (621), (531), (522), (441), (432) и (333). Для 10 это (631), (622), (541), (532), (442) и (433). Применяя закон Кардано о пространстве элементарных событий, получаем: вероятность благоприятного исхода равна соотношению исходов, которые благоприятны. Сумма 9 и 10 может быть составлена теми же 6 способами. Тогда почему одно вероятнее другого?
    А потому, что, как я уже говорил, закон пространства элементарных событий в его первоначальной форме применим только к тем исходам, которые обладают равной вероятностью. Вышеприведенные же комбинации таковыми не являются. К примеру, исход (631), то есть бросок, в результате которого выпадают 6, 3 и 1, обладает шестикратной вероятностью по сравнению с исходом (333), поскольку хотя и существует один способ, в результате которого выпадают три 3, способов, в результате которых получаются 6, 3 и 1, целых шесть: можно получить 6, затем 3 и 1, или же сначала 1, затем 3, а потом уже 6, ну и гак далее. Представим запись исхода, где порядок бросков записывается трехзначными, разделенными запятой комбинациями. Тогда все то, что мы только что сказали, можно выразить короче: исход (631) состоит из возможностей (1,3,6), (1,6,3), (3,1,6), (3,6,1), (6,1,3) и (6,3,1), а исход (333) состоит только лишь из (3,3,3). Как только мы упростили запись таким вот образом, стало понятно: исходы одинаково вероятны, и можно применить закон. Поскольку существует 27 способов получить общую сумму в 10, бросая три кости, но лишь 25 способов получить сумму в 9, Галилей заключил: при броске трех костей вероятность выпадения 10 равна 27/25, то есть около 1,08 раза больше.
    Решая поставленный перед ним вопрос, Галилей косвенным образом применил следующий важный принцип: «Вероятность события зависит от числа его исходов». Ничего удивительного в самом утверждении нет. Удивительно том, насколько обширен эффект, и насколько трудно его подсчитать. Предположим, вы даете 25 шестиклассникам список из 10 вопросов, на которые надо ответить быстро, не задумываясь. Подсчитаем возможные результаты одного конкретного ученика: он отвечает на все вопросы правильно; отвечает на 1 вопрос неправильно — тут возможны 10 вариантов, потому как вопросов 10; отвечает на 2 вопроса неправильно — возможны 45 вариантов, потому как вопросы группируются в 45 пар, и так далее. В результате в среднем в группе студентов, пытающихся угадать правильные варианты ответов, на каждого студента, который угадает 100% правильных ответов, приходится около 10 студентов, которые дадут 90% правильных ответов, и 45 студентов, которые дадут 80% правильных ответов. Шансы получить около 50 баллов, конечно, все же выше, но в классе из 25 учеников вероятность того, что хотя бы один ученик получит 80 баллов или выше, если все ученики отвечают наугад, равна 75%. Так что если вы преподаватель со стажем, то наверняка в вашей многолетней практике среди всех учеников, которые являлись на урок неподготовленными и более-менее угадывали ответы на контрольной работе, были и такие, которые умудрялись в итоге получить четверки или даже пятерки.
    Несколько лет назад в Канаде проводилась государственная лотерея, и когда устроители решили вернуть накопившиеся призовые деньги, за которыми никто так и не пришел, они на собственном горьком опыте убедились в том, как важен тщательный подсчет{69}. Они приобрели 500 машин в качестве бонусов и запрограммировали компьютер таким образом, чтобы из 2,4 млн подписчиков на лотерейные билеты машина произвольно выбрала 500 счастливчиков. Затем список был опубликован. К смущению устроителей лотереи, один господин заявил (надо заметить, справедливо), что выиграл две машины. Устроителям было чему изумиться: из 2,4 млн номеров компьютер вслепую выбрал один и тот же номер дважды. Как могло такое случиться? Может, ошибка в программе?
    Задача с подсчетом номеров билетов, с которой столкнулись устроители лотереи, ничем не отличается от задачи с днями рождения: сколько в группе должно быть людей, чтобы встретились два человека с одинаковым днем рождения (при этом предполагается, что одинаково возможны любые дни)? Большинство скажут, что ответ — количество дней в году, поделенное пополам, то есть что-то около 183. Но ответ этот можно счесть правильным для совсем другого вопроса: сколько людей с разными днями рождения должны присутствовать в группе, чтобы день рождения одного из них совпал с вашим? Если не заложено никаких ограничений относительно того, у каких именно двух человек дни рождения должны совпасть, то факт того, что существует множество возможных пар людей, дни рождения которых могли бы совпасть, коренным образом меняет дело. И число таких людей на удивление мало: всего 23. Если вернуться к канадской лотерее, где выборка производилась из 2,4 млн билетов, окажется, что необходимо гораздо больше, чем 500 номеров, чтобы номер повторился. И тем не менее исключать такую возможность не стоит. Шансы совпадения фактически равны примерно 5%. Цифра небольшая, однако стоило ее принять во внимание и запрограммировать компьютер таким образом, чтобы он тут же вычеркивал из списка каждый выбранный номер. Да, а того счастливчика, который оказался обладателем двух машин, от одной попросили отказаться. Только он не согласился.
    А вот еще один загадочный случай, связанный с лотереей и многих удививший; произошел он в Германии 21 июня 1995 г.{70} Проводилась лотерея под названием «Лото 6/49», означавшая, что шесть выигрышных чисел нужно выбрать из чисел от 1 до 49. В день объявления результатов были названы выигрышные числа: 15-25-27-30-42-48. Точно такая же последовательность уже выпадала ранее, 20 декабря 1986 г. Впервые за 3,016 выборок выигрышная последовательность повторилась. Каковы шансы такого повтора? Вовсе не такие уж и плохие, как вам может показаться. Если использовать математический подход, окажется, что шанс повтора равен примерно 28%.
    Поскольку в случайном процессе число исходов события и определяет его вероятность, главный вопрос в следующем: как подсчитать число исходов того или иного события? Похоже, Галилей не проникся всей значимостью подобного вопроса. В своем исследовании случайностей дальше задачи о костях он не пошел, а в начале работы упомянул, что пишет об игральных костях только «по обязанности»{71}. В 1633 г. в «благодарность» за пропаганду нового научного подхода Галилей был осужден Инквизицией. Однако наука и теология давно уже разошлись, и теперь ученые анализируют вопрос «как?», а богословы, облегчая жизнь ученым, размышляют над вопросом «почему?». Пройдет совсем немного времени, и ученый нового поколения, с юности воспринявший новую научную философию Галилея, проведет анализ вероятности и достигнет новых высот, поднявшись на такой уровень, без которого большая часть современной науки была бы попросту невозможна.

    Научная революция разворачивалась, и границы теории случайности ширились от Италии к Франции, где ученые нового типа, подвергавшие сомнению Аристотеля и следовавшие Галилею, совершали еще более глубокие открытия, нежели Кардано или сам Галилей. На этот раз важность нового труда будет признана, он всколыхнет всю Европу. И хотя новые идеи будут проиллюстрированы все теми же азартными играми, первый ученый нового типа окажется математиком, впоследствии ставшим игроком, в противоположность Кардано, игроку, впоследствии ставшему математиком. Звали этого ученого Блез Паскаль.
    Паскаль родился в июне 1623 г. в Клермон-Ферране, находившемся в 400 км от Парижа. Отец Блеза разглядел одаренность сына, семья переехала в Париж, и в возрасте тринадцати лег Блез был представлен недавно созданному кружку, который сами его члены называли Академией Мерсенна — по имени францисканского монаха-основателя. В кружок Мерсенна входили прославленный философ-математик Рене Декарт и гениальный математик-любитель Пьер де Ферма. Все они, представлявшие собой диковинную смесь блистательных умов и крайне высокого самомнения, вместе с Мерсенном, помешивавшим это «варево», оказали на юного Блеза большое влияние. Блез подружился с Ферма и Декартом, воспринял новый научный метод. «Пусть все ученики Аристотеля... — писал он, — признают: истинный учитель есть эксперимент, ему надлежит внимать при изучении Физики»{72}.
    Но каким образом оторванный от жизни, скучный и набожный субъект стал завсегдатаем сборищ городских игроков? Время от времени Паскаль страдал болями в желудке, у него были трудности с глотанием и прохождением пищи по пищеводу, он испытывал изнуряющую слабость и сильную головную боль, внезапно потел, иногда у него даже отнимались ноги. Паскаль стоически следовал предписаниям врачей, назначавших кровопускание, слабительные, питье молока ослицы и другие «отвратительные» микстуры, от которых его едва не выворачивало — «истинные пытки», по словам сестры Жильберты{73}. К тому времени Паскаль уехал из Парижа, однако летом 1647 г. в возрасте двадцати четырех лет он вернулся вместе с сестрой Жаклин и, совсем отчаявшись, пустился на поиски средства, которое все же излечило бы его. Новые врачи дали наисовременнейший совет: «отказаться от напряженного умственного труда и как можно полнее отдаться развлечениям{74}». И вот Паскаль стал учиться отдыхать и расслабляться, начал проводить время в компании других молодых людей, ведущих праздный образ жизни. В 1651 г. умирает отец Блеза, и Паскаль неожиданно становится молодым человеком с наследством. Он нашел деньгам хорошее применение, по крайней мере, если исходить из рекомендаций врачей. Биографы Паскаля называют период с 1651 по 1654 гг. периодом «мирской суеты». Сестра Жильберта писала про «годы, которым он нашел наихудшее применение»{75}. Хотя Блез приложил некоторые усилия, чтобы сделать себе рекламу, его научные изыскания ни к чему не привели, зато он мог похвастать отменным здоровьем.
    Зачастую в истории исследования случайности подтолкнувшее эти исследования событие само оказывалось случайным. Так вышло и с работой Паскаля: бросив исследования, он занялся изучением шанса. Началось все с того, что один из приятелей Блеза по развлечениям представил его одному снобу сорока пяти лет по имени Антуан Гомбо. Гомбо, этот аристократ с титулом шевалье де Мере, считал себя знатоком по части флирта и, судя по списку своих любовных похождений, таковым и был. Однако де Мере также имел репутацию опытного игрока, предпочитал высокие ставки и так часто выигрывал, что его даже подозревали в мошенничестве. И вот когда этот де Мере столкнулся с неким затруднением, он обратился за помощью к Паскалю. С этого началось исследование, которое положило конец «заклятию» Паскаля, отвратившему его от занятий наукой, обеспечило де Мере место в истории идей и разрешило проблему, которая так и оставалась нерешенной в работе Галилея, заказанной герцогом.
    Шел 1654 год. Затруднение, с которым де Мере обратился к Паскалю, заключалось в очках. Предположим, вы с партнером играете, у вас равные шансы, и тот, кто первым наберет определенное количество очков, выигрывает. Игра прерывается; в это самое время один из игроков лидирует. Как справедливее всего разделить сумму? При разрешении этой проблемы, заметил де Мере, нужно учесть шансы каждого игрока на выигрыш исходя из того, у кого их, этих шансов, на момент прерывания игры больше. Но как произвести подсчет?
    Паскаль сознавал, что, каким бы ни был ответ, методы для подсчета еще не изобрели, и эти методы, какими бы они ни были, могут иметь серьезные последствия в соревновательной ситуации любого рода. Как это часто случается в теоретических изысканиях, Паскаль испытывал неуверенность, даже замешательство по поводу своего плана действий. Он решил, что нужен посредник, то есть еще один математик, с которым можно было бы обсудить свои догадки. Марен Мерсенн, великий переговорщик, уже несколько лет как умер, однако Паскаль не порвал связей с членами Академии. И в 1654 г. завязалась одна из величайших переписок в истории математики: между Паскалем и Пьером де Ферма.
    В 1654 г. Ферма занимал высокий пост — королевский советник парламента — в Тулузе. На заседаниях суда изысканно одетый Ферма занимался тем, что приговаривал согрешивших должностных лиц к сожжению. В свободное же от заседаний время Ферма прилагал свои аналитические способности к более изящным занятиям — занятиям математикой. Возможно, Пьер де Ферма и не был профессионалом, но за ним закрепилась слава величайшего математика.
    Ферма получил видную должность отнюдь не благодаря своим честолюбивым устремлениям или неким заслугам. Она досталась ему старым, добрым способом — он постепенно поднимался по служебной лестнице, занимая кресла своих начальников, умиравших от чумы. Когда ему пришло письмо от Паскаля, Ферма и сам только-только начинал оправляться от этой болезни. Болезнь протекала настолько тяжело, что друг Ферма, Бернар Медон, успел объявить Ферма умершим. Когда же Ферма не умер, смущенный, но явно обрадованный Медон отозвал свое объявление, однако нет никаких сомнений в том, что Ферма одной ногой был уже в могиле. В конечном счете Ферма, который был старше Паскаля на двадцать два года, пережил своего новообретенного друга по переписке на несколько лет.
    Как мы увидим, задача, связанная с очками, возникает в такой области, в которой оба, и Паскаль, и Ферма, соперничают. В ходе переписки Паскаль и Ферма разрабатывают свои подходы и предлагают несколько вариантов решения. Однако метод Паскаля оказался проще, да и изящнее, к тому же он мог быть применен к большому кругу задач, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни. Поскольку задача впервые возникла в связи с заключением пари, возьмем пример на тему спорта. В 1996 г. команда «Смельчаки Атланты» победила «Нью-Йоркских Янки» в первых 2 играх бейсбольной Мировой серии (по условиям первая команда, победившая в 4 играх, становится чемпионом). Факт победы «Смельчаков» в первых 2 играх совсем не обязательно означал, что ее игроки сильнее других. И все же он служил знаком того, что они явно лучше. Для выполнения нашей текущей задачи предположим, что и та, и другая команды обладали равными шансами на победу в каждой игре, и что в первых 2 играх лишь по случайности выиграла команда «Смельчаки Атланты».
    Основываясь на предположении, зададимся вопросом: в каком случае можно было бы поставить на «Янки», то есть, каковы были шансы «Янки» на лидирующее положение? Чтобы вычислить это, мы подсчитываем все возможности для «Янки» выиграть и сравниваем их с количеством возможностей проиграть. 2 игры из серии уже были сыграны, оставалось сыграть еще 5 игр. Каждая игра содержала в себе 2 возможных исхода: «Янки» выигрывают (Y) или «Смельчаки» выигрывают (В). Получается 2 в 5-й степени, то есть 32 возможных исхода. К примеру, «Янки» могли бы выиграть 3 игры, а следующие 2 проиграть: YYYBB; либо они могли выигрывать и проигрывать через раз: YBYBY. (В последнем случае, поскольку «Смельчаки» выиграли бы 4 игры с 6 игрой, последняя игра вообще не состоялась бы, однако к этому моменту мы еще вернемся). Вероятность того, что «Янки» еще смогут выиграть в Мировой серии, была равна числу исходов с хотя бы 4 выигранными играми, разделенному на общее число исходов — 32; вероятность того, что «Смельчаки» выиграли бы, была равна числу исходов с хотя бы еще 2 выигранными играми, также разделенному на 32.
    Такой подсчет выглядит странным, поскольку, как я уже заметил, включает варианты (как, например, YBYBY), при которых команды продолжают играть даже после того, как «Смельчаки» выигрывают необходимые им для победы 4 игры. Раз «Смельчаки» выигрывают 4 игры, 7-ю игру команды, конечно же не играют. Однако математика не зависит от человеческих причуд, и неважно, играют команды или не играют, это никак не отражается на факте существования таких исходов. К примеру, предположим, вы играете в игру и подбрасываете монету; по условиям игры вы побеждаете, как только монета падает орлом вверх. Существует 2 во 2-й степени, то есть 4 возможных варианта исходов с двумя бросками: орел-решка, орел-орел, решка-орел и решка-решка. При первом результате вам даже не придется бросать монету во второй раз, потому как вы уже выиграли. И тем не менее ваши шансы на выигрыш равны 3 из 4, потому что в 3 из 4 вариантов содержится исход «орел».
    Таким образом, чтобы подсчитать шансы «Янки» и «Смельчаков» на победу, мы просто-напросто учитываем возможную последовательность из 5 игр, которые еще предстоит сыграть. Во-первых, «Янки» стали бы победителями в том случае, если бы выиграли 4 из 5 возможных оставшихся игр. Это могло произойти в 1 из 5 случаев: BYYYY, YBYYY, YYBYY, YYYBY или YYYYB. И наоборот, «Янки» победили бы, если бы выиграли все 5 оставшихся игр, что могло произойти только в следующем случае: YYYYY. Теперь «Смельчаки»: они стали бы чемпионами, если бы «Янки» выиграли только 3 игры, что могло произойти в 10 случаях (BBYYY, BYBYY и так далее), либо при условии, что «Янки» выиграли бы только 2 игры (что опять же могло произойти в 10 случаях), либо при условии, что «Янки» выиграли бы только 1 игру (что могло произойти в 5 случаях), либо если они не выиграли бы ни одной игры (такое могло произойти только в 1 случае). Суммируя эти возможные исходы, получаем следующее: шансы «Янки» на победу были равны 6 из 32, или около 19%, а «Смельчаков» — 26 из 32, или около 81%. Если состязание в рамках Мировой серии вдруг остановили бы, то, согласно Паскалю и Ферма, именно таким образом следовало бы распределить призовое вознаграждение, и именно такими были бы шансы на победу при условии заключения пари после первых 2 игр. Кстати, «Янки» все же вернули себе преимущество — выиграли следующие 4 игры, — и стали чемпионами.
    Точно такой же ход рассуждений вполне применим и в момент начала игр Мировой серии, то есть еще до того, как первая игра сыграна. Если две команды обладают равными шансами на победу в каждой из игр, они обладают равными шансами и на победу в Мировой серии. Однако такой же ход рассуждений верен и в том случае, если их шансы на победу не равны, за исключением того, что приведенные мной несложные расчеты несколько меняются: каждый исход должен быть подкреплен фактором, описывающим его относительную вероятность. Если вы произведете эти расчеты и проанализируете ситуацию в самом начале игр Мировой серии, увидите: при серии в 7 игр велик шанс того, что менее сильная команда в итоге оказывается чемпионом. К примеру, если команда достаточно сильна, чтобы гарантированно обыграть другую в 55% игр, более слабая команда тем не менее выиграет серию из 7 игр с вероятностью, равной примерно 4 из 10. Если же от более сильной команды ожидают победы над соперниками с вероятностью в 2 случаях из 3, соперники все же победят в серии из 7 игр с вероятностью около одного на каждые 5 игр. И спортивным лигам этого никак не изменить. К примеру, в случае вероятности 2/3 придется сыграть как минимум 23 игры, чтобы определить победителя со статистически значимой долей уверенности, то есть команда послабее оказалась бы победителем в 5% или менее случаев (см. главу 5). В случае же соотношения 55 к 45 статистически значимой окажется серия из 269 игр. Вот уж точно утомительное занятие! Так что соревнования в спорте могут быть азартными и зрелищными, однако титул «всемирного чемпиона» не очень-то надежный показатель истинного положения дел.
    Как я уже говорил, такой ход рассуждений применим не только к играм, будь они спортивными или азартными. К примеру, соперничают две компании или же два сотрудника одной компании, причем соперничество проходит почти на равных. Одержавший верх и потерпевший поражение могут выявляться раз в квартал или раз в год, однако чтобы получить точный ответ на вопрос, какая компания или какой сотрудник сильнее, путем простого сравнения — кто кого — нужно сравнивать десятилетиями, а то и столетиями. Например, если сотрудник А действительно сильнее и в скором времени продемонстрирует лучшие производственные показатели по сравнению с сотрудником В в 60 случаях из 100, в простых сравнениях из 5 исходов сотрудник послабее тем не менее одержит верх почти в одной трети случаев. Так что крайне ненадежно оценивать способности по краткосрочным результатам.
    Во всех этих задачах подсчет достаточно прост и особых усилий не требует. Однако когда речь заходит о действительно больших числах, произвести подсчеты сложнее. К примеру, рассмотрим такую задачу. Вы занимаетесь приготовлениями к свадебному банкету на 100 человек, каждый из столиков рассчитан на 10 гостей. Вы не можете посадить двоюродного брата Рода с вашей подружкой Эми, потому что восемь лет назад они встречались, и Эми дала Роду отставку. С другой стороны, и Эми, и Летиция хотят сидеть рядом с другим вашим двоюродным братом, душкой Бобби, а вот тетю Рут надо от них отсадить, иначе потом все эти заигрывания еще лет пять будут предметом обсуждений на семейных сборищах. Итак, вы тщательно взвешиваете вероятности. Возьмем для начала первый столик. Сколькими способами можно из 100 гостей выбрать 10? Вопрос очень похож на следующие: сколько существует способов, чтобы разместить 10 инвестиционных пакетов между 100 инвестиционными фондами, или же распределить 10 атомов германия в 100 позициях кремниевого кристалла? Задача такого рода периодически всплывает в теории случайности, и не только в приложении к проблеме очков. Однако в случае с большими числами утомительно, а то и попросту невозможно подсчитывать вероятности, составляя из них список. Вот в чем истинное достижение Паскаля: общеприменимый и систематический подход к подсчету, позволяющий получить ответ путем расчетов по формуле или вывести его из табличных значений. Подход основан на любопытном расположении чисел — в форме треугольника.

    Вычислительный метод, лежащий в основе работы Паскаля, в действительности был открыт китайским математиком Цзя Сянем около 1050 г., а опубликован другим китайским математиком, Чжу Шицзе, в 1303 г., и только после этого стал частью более великого — теории вероятностей Паскаля, который в конечном счете и стяжал лавры славы{76}. Однако предшествовавшие труды Паскаля не заботили. «Пусть не говорят, будто я ничего нового не сказал, — возражает в автобиографии Паскаль. — Новое в построении. Когда мы играем в теннис, мы оба ударяем по одному и тому же мячу, однако один из нас посылает его лучше другого»{77}. Данное ниже графическое изобретение называется «треугольником Паскаля». На рисунке я прервал треугольник — последний ряд у него 10, однако он может продолжаться до бесконечности. В действительности, нет ничего проще, поскольку за исключением 1 в вершине треугольника каждое число является суммой чисел рядом выше слева и справа (прибавьте 0, если в верхнем ряду справа или слева чисел нет).
   
    Треугольник Паскаля пригождается всякий раз, когда нужно выяснить количество способов, посредством которых находится некоторое число предметов из общего числа, равного выбираемому числу или превосходящее его. Вот как использовать треугольник при решении задачи о свадебном банкете. Чтобы найти число размещений гостей по 10 человек при их общем количестве в 100, начнем с того, что спустимся по треугольнику до ряда, обозначенного как 100. У треугольника, приведенного мной, такого ряда нет, он заканчивается рядом 10, однако предположим, что наш треугольник продолжен до ряда 100. Первое число в ряду 100 указывает на количество способов, которыми вы можете выбрать 0 гостей из группы в 100 человек. Способ тут, разумеется, один — вы просто-напросто никого не выбираете. Это верно для какого угодно количества гостей в группе, вот почему первое число в каждом ряду — 1. Второе число в ряду 100 обозначает количество способов, которыми можно выбрать 1 гостя из 100. Способов этих 100: можно выбрать гостя номер 1, либо гостя номер 2, ну и так далее. Подобный ход рассуждений применим к каждому ряду, таким образом, второе число в каждом ряду является просто-напросто числом этого самого ряда. Третье число в каждом ряду обозначает число разных вариантов распределения групп из 2 человек. И так далее. Искомое число — варианты распределения групп по 10 человек — таким образом одиннадцатое по счету в ряду. Даже если бы я продлил треугольник до 100 ряда, число оказалось бы слишком большим, чтобы поместиться на странице. И вообще, когда кто-либо из гостей на свадьбе жалуется, что его не туда посадили, можете объяснить, что вычисление всех возможных вариантов посадки заняло бы у вас слишком много времени: исходя из секунды на каждый вариант, пришлось бы потратить около 10 000 млрд лет. Недовольный гость, конечно же, решит, что вы попросту драматизируете.
    Чтобы в самом деле воспользоваться треугольником Паскаля, сократим список гостей до 10 человек. Тогда нужный нам ряд как раз будет нижним, надписанный числом 10. Числа в этом ряду обозначают отдельные столики на 0, 1, 2 и так далее из группы в 10 человек. Эти числа вам уже знакомы из задачи про шестиклассников, которым дали контрольную работу — число вариантов неверных ответов ученика на все десять вопросов работы равно числу способов, посредством которых выбираются гости из группы в 10 человек. Такова одна из сильных сторон треугольника Паскаля: одни и те же математические вычисления применимы к разным ситуациям. В случае задачи, где «Янки» и «Смельчаки» боролись за победу в Мировой серии, мы производили утомительные подсчеты всех возможных ситуаций для 5 оставшихся игр. Теперь же узнать число способов, какими «Янки» могут выиграть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 игр, можно прямо из ряда 5 треугольника:
   
    Мы с первого взгляда видим, что шанс «Янки» выиграть 2 игры (10 способов) в два раза больше, чем шанс выиграть 1 игру (5 способов).
    Стоит вам только познакомиться с данным методом вычислений, как вы заметите: треугольник Паскаля применим во многих случаях. Одно время моя знакомая работала в недавно созданной компании, занимавшейся компьютерными играми. Она рассказывала: начальник маркетингового отдела хотя и соглашался насчет того, что небольшие фокус-группы подходят «только для заключений относительно качества», тем не менее часто говорил о «поразительном» единодушии (4 против 2 или 5 против 1) между членами фокус-группы так, будто оно имело значение. Однако предположим, что в вашей фокус-группе 6 человек высказывают свое мнение о новинке, которую вы разрабатываете. Предположим, что в действительности новинка приходится по душе половине населения. Насколько точно данное предпочтение будет отражено в вашей фокус-группе? Теперь нужный нам ряд треугольника — ряд 6, представляющий число возможных подгрупп как 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6, членам которых ваша новинка может понравиться или не понравиться:
   
    Мы видим, что мнения членов фокус-группы могут разделиться поровну, точно отражая мнение населения, в общем, 20 разными способами. Однако существуют также и 1+6+15+15+6+1=44 способа, которыми можно вычислить нерепрезентативное единодушие: либо «за», либо «против». Поэтому если вы не будете внимательны, шансы сбиться с пути равны 44 из 64, то есть двум третям. Этот пример вовсе не означает: если между членами группы достигнуто согласие, оно случайно. Но и значительным его считать тоже не стоит.
    Анализ, произведенный Паскалем и Ферма, оказался первым серьезным шагом на пути к связной математической теории случайности. Последнее письмо из их знаменитой переписки датируется 27 октября 1654 г. Через несколько недель Паскаль испытал нечто, погрузившись на два часа в транс. Одни считают, что это был мистический опыт. Другие — что Паскаль в конце концов оторвался от планеты под названием Разум. Однако, как бы кто ни объяснял происшедшее, Паскаль после пережитого стал другим человеком. Это его преображение способствовало еще одному значительному вкладу в развитие идеи случайности.

    В 1662 г., через несколько дней после смерти Паскаля, его слуга заметил, что один карман куртки господина подозрительно оттопыривается. Слуга распорол подкладку и нашел свернутые листы пергамента и бумаги. Видимо, последние восемь лет жизни Паскаль носил их с собой. На листах его рукой были нацарапаны отдельные слова и фразы, датированные 23 ноября 1654 г. Они представляли собой эмоциональное описание того самого состояния транса: Паскаль рассказывал, как Господь в течение двух часов наставлял его на путь истинный.
    В итоге Паскаль перестал общаться почти со всеми своими друзьями, называя их «отвратительными привязанностями»{78}. Он продал свой экипаж, лошадей, мебель, библиотеку... все, оставил только Библию. Деньги раздал беднякам, оставив себе до того мало, что зачастую вынужден был просить милостыню или занимать, чтобы не умереть с голоду. Он носил на себе железный, с шипами на внутренней стороне пояс: когда он ловил себя на том, что испытывает счастье, затягивал пояс потуже. Паскаль бросил занятия математикой и наукой вообще. О своем юношеском увлечении геометрией он писал: «Я едва помню о существовании этой самой геометрии. Она видится мне до того бесполезной... вероятнее всего, я никогда больше не вспомню о ней»{79}.
    Однако все это время Паскаль отнюдь не бездействовал. Испытав состояние транса, он в последующие годы записывал свои мысли о Боге, религии, жизни. Мысли эти позднее были опубликованы в книге под названием «Мысли о религии и других предметах» — труд до сих пор переиздается. И хотя Паскаль отрекся от математики, его взгляд на мирскую жизнь и есть математическое обоснование, во время которого он упражнялся в математической вероятности на примере вопросов о теологии — вклад такой же значительный, как и ранняя работа над задачей на тему очков.
    Математическое в «Мыслях» изложено на двух листах манускрипта, исписанных с обеих сторон неровным почерком, с большим количеством исправлений. На этих страницах Паскаль подробно изложил анализ «за» и «против» моральных обязательств человека перед Богом, причем сделал это так, будто математикой поверял мудрость заключившего пари. Новаторство было в методе Паскаля, с помощью которого уравнивались «за» и «против» — в наше время это понятие называется математическим ожиданием.
    Аргумент Паскаля был таким. Предположим, вы допускаете, что не знаете наверняка, существует Бог или нет, и таким образом шансы вероятности каждого предположения примерно равны — 50% и 50%. Каким образом вы можете взвесить шансы, чтобы решить, стоит или не стоит вести жизнь добродетельную? Если вы будете жить, соблюдая добродетельность, и если Бог существует, писал Паскаль, то ваш выигрыш — вечная жизнь — бесконечно велик. С другой стороны, если Бог не существует, ваш проигрыш, то есть невозможность возвращения на землю, невелик — можно снизить расходы на обряды, посты и всяческие ограничения. Чтобы сравнить возможные выгоды и потери, Паскаль предложил умножить вероятность каждого возможного исхода на его результат и все их сложить, приходя к среднему или же ожидаемому результату. При умножении пусть даже большой вероятности, что Бога нет, на небольшую ценность приза получается величина возможно и большая, но всегда конечная. При умножении любой конечной, даже очень маленькой, вероятности, что Бог окажет человеку милость за его добродетельное поведение, на бесконечно большую ценность приза получается бесконечно большая величина. Паскаль немало знал о бесконечности, чтобы осознавать: результат этих вычислений бесконечен, так что ожидаемый выигрыш от добродетельного поведения бесконечно положителен. Таким образом, Паскаль заключал: любой разумный человек будет следовать законам божьим. В наше время это утверждение известно как «пари Паскаля».
    Ожидание — важное понятие не только в азартных играх, но и во всем, что связано с принятием решений. Зачастую «пари Паскаля» считают основой такого раздела математики как теория игр — количественное исследование стратегий оптимального решения в играх. Должен заметить, подобные размышления вызывают привыкание, поэтому я иногда захожу слишком далеко. «Сколько стоит этот парковочный счетчик?» — спрашиваю я у своего сына. Вывеска гласит: 25 центов. Это так, однако 1 раз в 20 или около того приездов я прихожу поздно и нахожу талон на 40 долларов, так что 25 центов на самом деле жестокая приманка, объясняю я, потому что моя реальная плата равна 2 долларам 25 центам. (Дополнительные 2 доллара выходят благодаря 1 из 20 шансов получить талон, умноженный на его стоимость в 40 долларов.) «А что ты скажешь насчет нашей подъездной аллеи? — спрашиваю я другого своего сына. — Ее можно назвать платной?». Дело в том, что мы прожили в нашем доме лет 5 или же 2400 раза отъезжали от дома по аллее задом, и 3 раза я задевал зеркалом за торчащий столб ограды, что каждый раз обходилось мне в 400 долларов. С таким же успехом можешь установить на столбе аппарат по сбору платы и каждый раз, выезжая задом, бросать 50 центов, отвечает мне сын. Он понимает, что такое ожидание. (А еще советует мне не везти их с братом в школу, пока я не выпью свою чашечку кофе.)
    Если смотреть на мир через объектив математического ожидания, можно стать свидетелем удивительного. Например, недавняя лотерея, которую распространяли по почте, сулила выигрыш в 5 млн долларов{80}. Только и нужно было, что сделать ставку по почте. Делать ставки можно сколько угодно, только высылать их нужно каждую отдельно. Видимо, спонсоры ожидали что-то около 200 млн, потому что внизу мелкими буквами указывалось: шансы на выигрыш равны 1 из 200 млн. Стоит ли принимать участие в таких вот «бесплатных лотереях»? Умножая вероятность выигрышных разов на выигрыш, получаем, что каждая ставка равна 1 /40 доллара или 2,5 центам — это гораздо меньше, чем почтовые расходы при отправке. В действительности, больше всех в этой лотерее выигрывает почта, которая, при условии правильности предполагаемых показателей, должна получить почти 80 млн со всех почтовых отправлений.
    А вот еще одна сумасшедшая игра. Предположим, администрация Калифорнии объявит населению штата следующее: все те, кто вложит доллар-другой, ничего не приобретут, однако один получит целое состояние, а еще один будет лишен жизни жестоким способом. Кто-нибудь решится сыграть в такую игру? Еще как решится! Называется эта игра «государственная лотерея». И хотя государство рекламирует игру совсем не так, как это только что сделал я, на самом деле именно так все и происходит. В каждой игре один счастливчик получает крупную сумму, а миллионы других участников ездят к продавцам билетов, и при этом некоторые погибают в автокатастрофах. Если обратиться к статистике государственной дорожной инспекции и прикинуть, как далеко приходится ездить за билетом каждому из участников, сколько каждый из участников покупает билетов и сколько людей оказываются жертвами типичных аварий на дорогах, получится, что допустимое число несчастных случаев равно примерно одной смерти на игру.
    Администрация штата обычно не принимает в расчет доводы о возможных негативных последствиях лотерей. И это потому, что в большинстве своем они достаточно осведомлены о математическом ожидании, чтобы рассчитать: на каждый купленный билет ожидаемые выигрыши — общая сумма призовых денег, поделенная на число купленных билетов — меньше стоимости одного билета. Обычно получается недурная сумма, которая перекочевывает в государственные закрома. Однако в 1992 г. некоторые инвесторы в австралийском Мельбурне заметили, что в Вирджинской лотерее этот принцип нарушается{81}. По условиям игры необходимо выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Если бы нам удалось настолько продлить треугольник Паскаля, мы бы увидели, что существует 7 059 052 способов выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Лотерейный джекпот составлял 27 млн долларов, а если считать вместе со вторым, третьим и четвертым призами, то и все 27 918 561 доллар. Сообразительные инвесторы возразили: если купить один билет с каждой из возможных 7 059 052 числовых комбинаций, стоимость этих билетов будет равна сумме джекпота. Значит, каждый билет будет стоить около 27,9 млн долларов разделенные на 7 059 052, то есть около 3,95 долларов. А по какой цене администрация штата Вирджиния, при всей ее мудрости, продает билеты? Как обычно: по 1 доллару.
    Австралийские инвесторы быстро нашли 2.500 мелких инвесторов в Австралии, Новой Зеландии, Европе и США, каждый из которых согласился вложить в среднем по 3 тыс. долларов. Если все рассчитано правильно, примерный доход от этих вложений — 10 800 долларов. Однако план содержал в себе кое-какие риски. Во-первых, так как не они одни покупали билеты, существовала вероятность, что другой, и даже не один, а несколько окажутся с выигрышным билетом, то есть, выигрыш придется делить. Лотерея проводилась уже 170 раз; в 120 случаях победителя не оказывалось, в 40 случаях оказывался один победитель и лишь в 10 случаях — два. Если подобная частотность точно отражала ситуацию с шансами, тогда следовало, что в 120 случаях из 170 инвесторы получили бы весь выигрыш, в 40 случаях из 170 у них оказалась бы только половина, а в 10 случаях из 170 — лишь треть. Подсчитывая ожидаемый выигрыш с помощью принципа математического ожидания Паскаля, они пришли к следующей цифре: (120/170x27,9 млн долларов) + (40/170х13,95 млн долларов) + (10/170x6,975 млн долларов) = 23,4млн долларов. А это 3,31 доллара за билет — неплохой доход с 1 доллара, даже после всех затрат.
    Но существовала и другая опасность: кошмар службы логистики в связи с завершением выкупа всех билетов к окончанию срока розыгрыша. Могли потребоваться существенные незапланированные расходы, а значительную призовую сумму можно было так и не получить.
    Члены инвестиционной группы тщательно подготовились. Они от руки, как того требуют правила, заполнили 1,4 млн билетов: каждый билет участвовал в пяти розыгрышах. В 125 торговых точках расставили выкупщиков и заручились поддержкой продуктовых магазинов, которые получали доход с каждого проданного билета. Схема была запущена за трое суток до завершения лотереи. Служащие магазинов работали посменно, чтобы успеть продать как можно больше билетов. В одном магазине за последние двое суток продали 75 тыс. билетов. Другой магазин, сетевой, принял банковских чеков на 2,4 млн билетов, распределил работу по печатанию билетов между своими торговыми точками и нанял курьеров, чтобы собрать их. И все-таки под конец группе не хватило времени: они купили всего 5 млн билетов из 7 059 052.
    Прошло несколько дней с момента объявления выигрышного билета, но за выигрышем никто не явился. Выиграл консорциум инвесторов, однако им пришлось ждать в течение нескольких дней, чтобы удостовериться в этом. Затем, когда чиновникам от государственной лотереи стало известно, что выиграл консорциум, они стали уклоняться от выплаты призовых денег. Последовал целый месяц пререканий между юристами той и другой сторон, пока чиновники не признали: у них нет веских причин для отказа в выплате. В конце концов, инвесторы свой выигрыш получили.
    Изучая понятие случайности, Паскаль обогатил науку своими идеями в отношении расчетов, а также понятием математического ожидания. Интересно, какие еще открытия совершил бы Паскаль, не брось он занятия математикой, не пошатнись его здоровье. Однако ничего больше не произошло. В июле 1662 г. Паскаль тяжело заболел. Врачи предписали традиционные для того времени средства: кровопускания, бесконечные очищения организма, клизмы, рвотные. На некоторое время ему стало лучше, но потом болезнь вернулась, а с ней и сильные головные боли, головокружения, судороги. Паскаль дал обет: если поправится, посвятит свою жизнь помощи бедным. Он попросил перевести его в клинику для неизлечимо больных — в случае своей скорой смерти он хотел быть среди них. Паскаль в самом деле умер — несколько дней спустя, в августе 1662 г. Ему было тридцать девять. Вскрытие показало, что причиной смерти было кровоизлияние в мозг. Кроме того, обнаружились патологические изменения в печени, желудке, кишках, чем и объяснялись болезни, терзавшие Паскаля всю жизнь.

Глава 5. ПРОТИВОСТОЯНИЕ ЗАКОНОВ БОЛЬШИХ И МАЛЫХ ЧИСЕЛ

    В своих работах Кардано, Галилей и Паскаль предположили, что вероятности, соотносимые с задачами, за которые они взялись, уже известны. Например, Галилей предположил, что кость может с равным успехом упасть любой из шести сторон. Однако насколько «прочно» это знание? Возможно, кости герцога были сделаны таким образом, чтобы не отдавать предпочтение ни одной стороне, однако это не значит, что справедливость была на самом деле достигнута. Галилей мог проверить свое предположение путем наблюдений за бросками костей и последующей записи того, как часто кости падали той или иной стороной. Однако если бы он повторил эксперимент несколько раз, он, вполне возможно, обнаружил бы, что каждый раз результаты несколько разнятся, и даже небольшие отклонения могут оказаться значительными, в особенности, если иметь в виду ту крошечную разницу, которую его попросили объяснить. Чтобы ранняя работа из области теории случайности могла быть применена в реальном мире, необходимо задуматься над следующим вопросом: какова связь между неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Когда мы говорим: шансы того, что кость упадет на 2, равны 1 из 6, что мы имеем в виду с практической точки зрения? Если это не значит, что при любой серии бросков кость упадет на 2 аккурат 1 раз из 6, то на чем тогда основывается наша уверенность, будто шансы бросить кость и получить 2 в самом деле равны 1 из 6? И что подразумевается, когда врач говорит: лекарство в 70% эффективно, в 1% случаев влечет за собой серьезные побочные эффекты? Или что при опросе выясняется: кандидата поддерживают 36% избирателей? Это непростые вопросы, они имеют отношение к самой сути понятия случайности, понятия, о котором математики до сих пор спорят.
    Недавно, в один из теплых весенних дней, я ввязался в подобный спор, а моим оппонентом был статистик Моше, приехавший преподавать из Еврейского университета в Иерусалиме; за обедом в столовой Калифорнийского технологического института он сел напротив меня. Отправляя в рот одну за другой ложечки обезжиренного йогурта, Моше напирал на то, что по-настоящему случайных чисел не существует. «Таких в природе нет, — сказал он. — Ну да, они составляют таблицы, пишут компьютерные программы, но на самом деле сами себя обманывают. Никому еще не удалось изобрести метод получения случайных чисел лучший, нежели броски игральных костей, который как раз и не подходит».
    Моше махнул пластмассовой ложечкой в мою сторону. Тема его не на шутку взволновала. Я чувствовал, что между его отношением к понятию случайности и его религиозными убеждениями существует связь. Моше — ортодоксальный еврей, а я знаю, что многие верующие люди с трудом могут представить, будто Господь допускает существование случайности. «Предположим, ты хочешь выстроить ряд N случайных чисел между 1 и 6, — говорит Моше. — Ты бросаешь кость N раз и записываешь ряд N чисел, которые выпадают. Как по-твоему, это ряд действительно случайных чисел?»
    «А вот и нет, — продолжает он, — потому что никто не может сделать кость, которая была бы идеальна. Некоторые грани всегда будут выпадать чаще, а другие — реже. Может потребоваться 1 тыс., а то и 1 млн бросков, однако рано или поздно эго непременно обнаружится. Ты увидишь, что 4 выпадают чаще, чем 6, а может, реже. Любое искусственное устройство обязательно обнаружит в себе такой вот изъян, потому что людям совершенство недоступно». А вот Природе доступно, поэтому истинно случайные события происходят на атомарном уровне. В действительности, это не что иное, как основы квантовой теории, так что остаток обеденного перерыва мы провели в рассуждениях на тему квантовой оптики.
    В наше время современнейшие квантовые генераторы, подбрасывая идеальную квантовую кость Природы, выдают по-настоящему случайные числа. В прошлом совершенство, необходимое для изучения случайности, было, конечно же, целью иллюзорной. Наиболее творчески к этому вопросу подошла нью-йоркская преступная группировка, орудовавшая в 1920 г{82}. Каждый день им нужны были случайные пятизначные числа для незаконной лотереи, и гангстеры издевались над властями, указывая последние пять цифр бюджета Министерства финансов. (На момент написания этих строк правительство США имеет долг в 8 995 800 515 946 долларов и 50 центов или 29 679 долларов 02 цента на человека, так что современные гангстеры могли бы брать последние пять цифр из суммы долга на душу населения!) Их так называемая казначейская лотерея запуталась в сетях не только криминальных законов, но и законов научных, поскольку согласно правилу, называемому «законом Бенфорда»[10], цифры, получаемые таким образом, являются не случайными, а скорее стремящимися к цифрам младшего разряда.
    Закон Бенфорда был открыт вовсе не неким Бенфордом, а американским астрономом Шимоном Ньюкомбом. Примерно в 1881 г. Ньюкомб заметил, что страницы тетради с логарифмическими таблицами, на которых числа начинались с 1, гораздо сильнее захватаны и истрепаны, чем страницы, на которых числа начинались с 2 и так далее до 9 — те выглядели чистыми, как будто их вообще не открывали. Ньюкомб предположил: те страницы, которые больше всего истрепались, чаще всего и открывали, и на основании своих наблюдений заключил: те ученые, которые до него брали тетрадь, работали с данными, отражавшими подобное распределение цифр. Закон же был назван по фамилии Франка Бенфорда, который в 1938 г. заметил то же самое, что и Ньюкомб, когда просматривал логарифмические таблицы в научно-исследовательской лаборатории «Дженерал Электрик» в г. Скенектади, штат Нью-Йорк. Но ни Ньюкомб, ни Бенфорд не доказали справедливость закона. Это произошло только в 1995 г., и автор доказательства — Тед Хилл, математик из Технологического института Джорджии.
    Согласно закону Бенфорда, все девять чисел встречаются совсем не с одинаковой частотой, число 1 встречается в качестве первой цифры в 30% случаев; число 2 — примерно в 18% и так далее, до цифры 9, которая в качестве первой встречается лишь в 5% случаев. Похожий закон, хотя и не столько четко сформулированный, применим к последующим цифрам. Закону Бенфорда подчиняются числа из многих областей, к примеру, из области финансов. В действительности, закон как нельзя лучше подходит для обработки большого массива финансовых показателей на предмет мошенничества.
    В одном таком случае был замешан молодой предприниматель Кевин Лоуренс — он умудрился собрать 91 млн долларов на создание сети клубов здоровья, оборудованных по последнему слову техники{83}. Набив карманы наличными, Лоуренс развил бурную деятельность, нанял тучу исполнительных директоров и спустил деньги инвесторов так же быстро, как и собрал. И все бы ничего, за исключением одного: Лоуренс со своей когортой большую часть денег тратили не на развитие дела, а на личные нужды. А так как приобретение нескольких домов, двадцати личных яхт, сорока семи автомобилей (в числе которых пять «хаммеров», четыре «феррари», три спортивных «доджа», два шикарных «форда» и «ламборгини дьябло»), двух часов «Ролекс», браслета с бриллиантами в 21 карат, самурайского меча за 200 тыс. долларов и машины для коммерческого производства сладкой ваты едва ли можно было списать как деловые расходы, Лоуренс с дружками попытались увести деньги путем перечисления их по сложной банковской схеме со счета на счет как средства то одной подставной компании, то другой — все с целью создания видимости активно расширяющегося бизнеса. На их несчастье, заподозривший неладное бухгалтер-криминалист Даррелл Доррелл составил список из более чем 70 тыс. номеров (счета и переводы) и, опираясь на закон Бенфорда, сравнил, как распределяются цифры. А распределялись они вразрез с законом{84}. Это, конечно же, было только началом расследования, однако дальше история развивалась по известному сценарию, а развязка наступила за день до Дня благодарения 2003 г., когда Кевин Лоуренс, окруженный своими адвокатами и облаченный в светло-голубую тюремную робу, был приговорен к двадцати годам заключения без права досрочного освобождения. Налоговое управление США также изучило закон Бенфорда как способ обнаружения случаев налогового мошенничества. Один исследователь даже применил закон к данным налоговых поступлений от Билла Клинтона за тринадцать лет. Цифры распределились в соответствии с законом{85}.
    По-видимому, ни нью-йоркские гангстеры, ни те, кто покупал их лотерейные билеты, не замечали в номерах этих самых билетов закономерностей. Но вздумай люди вроде Ньюкомба, Бенфорда или Хилла сыграть в эту лотерею, они могли бы воспользоваться законом Бенфорда и заключить выгодные пари — неплохая прибавка к зарплате ученого.
    В 1947 г. ученым из «Рэнд Корпорейшн» понадобилась большая таблица случайных цифр для цели куда как более достойной: найти приблизительные решения определенных математических уравнений с применением способа, метко названного «методом Монте-Карло». Чтобы получить эти цифры, они решили прибегнуть к электронному порождению помех. Но можно ли назвать электронные помехи случайными? Вопрос не менее коварный, чем определение самой случайности.
    В 1896 г. американский философ Чарльз Сандерс Пирс писал о том, что «правила и методики, по которым делается случайная выборка, должны быть таковы, чтобы при бесконечном повторении экспериментов в конечном итоге вероятность того или иного результата была равнозначна остальным вариантам при таком же количестве повторений»{86}. Это что касается статистического определения вероятности. Альтернативой ему служит субъективное толкование вероятности. При статистическом определении вероятности суждение выносится исходя из того, чем закончилась серия экспериментов, а при субъективном толковании — исходя из того, каким образом эта серия осуществляется. Согласно субъективному толкованию вероятности, число или ряд чисел считаются случайными, если мы не знаем или не можем предсказать ход процесса, в результате которого они появляются.
    Разница между двумя определениями гораздо глубже, чем может показаться на первый взгляд. Например, в идеальном мире бросок игральной кости будет случайным по первому определению, но не по второму: вероятности выпадения любой стороны кости равны, но в идеальном мире мы можем воспользоваться точными данными о физических условиях и законах физики, чтобы определить перед каждым броском то, как именно выпадет кость. В полном несовершенства реальном мире бросок кости является случайным по второму определению, не по первому. Объясняется это тем, что, как указал Моше, из-за несовершенства мира кость не выпадет любой из сторон с равной частотностью. Мы же, в силу нашей ограниченности, не имеем предварительных данных о том, какая из сторон кости перед какой имеет преимущество.
    Чтобы определить, является ли составленная ими таблица случайной, ученые из «Рэнд Корпорейшн» подвергли ее серии испытаний. При близком рассмотрении оказалось, что в их системе имеются искажения, прямо как у изначально неидеальной игральной кости Моше{87}. Ученые скорректировали таблицу, однако совсем избежать закономерностей так и не смогли. Как сказал Моше, совершенный хаос — это, по иронии судьбы, некое совершенство. И все же числа получились в достаточной степени случайными, чтобы оказаться полезными, и в 1955 г. компания опубликовала их под броским заголовком: «Миллион случайных цифр».
    Во время своих изысканий ученые из «Рэнд Корпорейшн» столкнулись с проблемой рулеточного колеса, которая была обнаружена, если говорить абстрактно, почти столетие назад одним англичанином по имени Джозеф Джаггер{88}. Джаггер был инженером-механиком на текстильной фабрике в Йоркшире, так что обладал интуитивным чутьем в отношении всего, что касалось достоинств, а также недостатков оборудования. Однажды в 1873 г. этот инженер с развитой интуицией и изобретательным умом вместо текстиля задумался о деньгах. И задался вопросом: насколько совершенна работа рулеточных колес в казино Монте-Карло?
    Колесо рулетки, изобретенное, как гласит легенда, Блезом Паскалем, в то время как он подумывал о создании вечного двигателя, представляет собой большую чашу с ячейками, которые по виду напоминают тонкие куски пирога. Когда колесо вращают, мраморный шарик прыгает вдоль обода чаши и в конце концов остается в одной из ячеек, которые пронумерованы от 1 до 36 и еще добавлен 0 (а также 00 в американской рулетке). Задача игрока проста — угадать, в какую из ячеек упадет в конечном итоге шарик. Существование колеса рулетки является достаточно ярким свидетельством тому, что настоящих экстрасенсов не существует. Ведь если в Монте-Карло вы ставите 1 доллар и угадываете номер ячейки, казино выплачивает вам 35 долларов (и кроме того возвращает вам 1 доллар). Если бы экстрасенсы существовали, вы бы запросто встретили их в подобных заведениях: они бы выходили оттуда, напевая и пританцовывая, и катили перед собой тележку с наличными, а не заводили бы в Интернете сайты, называя себя «Зельдой Всевидящей и Всезнающей», и не предлагали бы круглосуточные консультации в вопросах любви, конкурируя с 1,2 млн других сетевых экстрасенсов (если верить Гуглу). Мне будущее и в особенности прошлое представляется затянутым густым туманом. Однако я знаю одно: вздумай я сыграть в европейскую рулетку, мои шансы проиграть равны 36 из 37, а шансы выиграть — 1 из 37. Это значит, что с каждого 1 доллара, поставленного мной, казино получит (36/37 х 1 доллар) — (1/37 х 35 долларов). То есть, 1/37 доллара или же около 2,7 центов. В зависимости от состояния моего ума это можно назвать либо ценой за удовольствие лицезреть, как маленький мраморный шарик подскакивает на вращающемся блестящем колесе, либо ценой за вероятное озарение. По крайней мере, так оно должно быть.
    Но вот так ли оно на самом деле? Только в том случае, если рулеточное колесо точнейшим образом уравновешено, подумал Джаггер. А уж он имел дело со столькими механизмами, что разделял точку зрения Моше. И готов был поспорить: колесо уравновешено вовсе не идеально. Так что он взял свои сбережения, поехал в Монте-Карло и нанял шесть помощников: по одному на каждое из шести рулеточных колес казино. Каждый день помощники наблюдали за колесами и в течение двенадцати часов — часы работы казино — записывали каждое число, которое выпадало. Каждый вечер Джаггер у себя в гостиничном номере анализировал данные. По прошествии шести дней он не обнаружил никаких отклонений у пяти рулеточных колес, зато у шестого девять чисел выпадали заметно чаще остальных. Таким образом, на седьмой день Джаггер пошел в казино и начал ставить на девять выигрышных номеров: 7, 8, 9, 17, 18, 22, 28, 29.
    В тот вечер ко времени закрытия казино у Джаггера накопилось 70 тыс. долларов. Его выигрыши не остались незамеченными. Вокруг стола собрались другие игроки — делать ставки в надежде приобщиться к удаче, работники казино следили за Джаггером в оба, пытаясь разгадать его систему, а то и поймать на мошенничестве. К четвертому дню Джаггер выиграл уже 300 тыс. долларов, а управляющие казино отчаянно искали способ избавиться от таинственного игрока или хотя бы помешать ему. Тут кто-нибудь сразу представит себе дюжего парня из Бруклина. Но управляющие придумали кое-что получше.
    На пятый день Джаггер начал проигрывать. Проигрыши, как и выигрыши, нельзя было заметить сразу. И до пятого дня, и после Джаггер когда выигрывал, когда проигрывал, однако теперь он проигрывал чаще, чем выигрывал, хотя раньше все было наоборот. При небольшой прибыли казино на то, чтобы опустошить карманы Джаггера, потребуется время, однако Джаггер, четыре дня кряду тянувший из казино деньги, не собирался снижать ставки. К тому времени, как отвернувшаяся от него фортуна заставила его остановиться, он потерял половину выигранного. Можно представить, до какой степени испортилось к тому времени его настроение, не говоря уже о настроении тех, кому он был обязан отрезвлением. И как только расчет мог вдруг подвести его?
    В конце концов Джаггер сообразил, в чем дело. Проводя столько часов за рулеткой, он заметил крошечную царапину на рулеточном колесе. Однако на пятый день царапина исчезла. Может, управляющие любезно распорядились замазать ее, чтобы если уж и обанкротиться, то достойно? Джаггер так не думал, он решил проверить остальные колеса. И на одном из них обнаружил ту самую царапину. Управляющие казино догадались, что успех Джаггера связан именно с этим колесом, и на другой день попросту заменили его. Джаггер перешел к колесу с царапиной и снова стал выигрывать. Вскоре его выигрыш достиг чуть ли не полумиллиона.
    На несчастье Джаггера, управляющие, наконец смекнувшие, в чем его удача, нашли-таки способ справиться с ним. Они решили передвигать ячейки каждый раз после закрытия, так что удачливыми каждый раз оказывались другие числа, неизвестные Джаггеру. Джаггер снова начал проигрывать и в конце концов бросил это дело. Завершив карьеру игрока, он покинул Монте-Карло с 325 тыс. долларов, что в пересчете на сегодняшний день равно примерно 5 млн долларов. Джаггер ушел с фабрики, вложив выигранное в недвижимость.
    Может показаться, что расчет Джаггера был верным, однако это не так. Потому что даже на идеально отлаженном рулеточном колесе шарик не станет с равной частотой выпадать на номера 0, 1, 2, 3 и так далее. Можно подумать, циферки выстроились в очередь и терпеливо ждут, когда заявится какой-нибудь тюфяк, чтобы подыграть ему. Нет, одни числа выпадают в среднем чаще, чем другие. И даже после шести дней наблюдений оставалась вероятность того, что Джаггер ошибается. Обнаруженная им большая частотность для некоторых номеров могла возникать случайно и совсем не означала то, что Джаггер подумал. Значит, и Джаггер оказался перед вопросом, упомянутом нами в начале главы: какова связь между неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Паскаль сделал свои открытия во времена научной революции, поэтому ответ на этот вопрос будет найден также в разгар революции, на этот раз в области математики — когда откроют численные методы.

    В 1680 г. Вселенную вблизи нашей Солнечной системы прочертила комета, причем так близко, что крошечной частички солнечного света, который она отразила, хватило для того, чтобы комета отчетливо светилась в ночном небе. Впервые комета была замечена в ноябре; несколько месяцев она оставалась объектом пристального наблюдения, ее траекторию вычерчивали самым подробным образом. В 1687 г. Исаак Ньютон воспользуется этими данными в качестве примера действия закона обратных квадратов для силы тяготения. А одной ночью, когда на небе не было ни единого облачка, на крошечном клочке швейцарской земли под названием Базель другой ученый, которому предначертано было прославиться, тоже не отрывал от кометы взгляда. Этот юный богослов смотрел на яркий, дымчатый свет кометы и понял, что хочет заниматься не теологией, а математикой{89}. Решение это не только круто поменяло жизнь Якоба, но и определило сферу деятельности многочисленных представителей семейства Бернулли: в период между рождением Якоба и 1800 г., то есть 150 лет, почти половина родившихся представителей семейства Бернулли оказались людьми одаренными, восемь человек стали известными математиками, а трое (Якоб, его младший брат Иоганн, сын Иоганна Даниил) на сегодняшний момент считаются величайшими учеными.
    В то время кометы в глазах теологов да и общества в целом выглядели знамениями божьего гнева, а уж если судить по этой комете, то Бог должно быть был зол как никогда — хвост кометы растянулся на полнеба. Один проповедник назвал комету «небесным предостережением Всемогущего и Святого Господа, начертанным и воздвигнутым перед слабыми и лишенными святости детьми человеческими». Она предвещает, продолжал проповедник, «значительные перемены в плане духовном или мирском» для страны или города{90}. Якоб Бернулли придерживался иного мнения. В 1681 г. он опубликовал брошюру под названием «Новый метод: как посредством некоторых основополагающих законов объяснить путь кометы или хвостатой звезды и предсказать ее появление».
    В этом плане Бернулли на шесть лет опередил Ньютона. По крайней мере, опередил бы, если его теория оказалась бы верной. Но верной она не была, однако произнесенное во всеуслышание заявление о том, что кометы подчиняются законам природы, а не прихоти божьей, было довольно-таки смелым, особенно если помнить, что годом ранее — почти через пятьдесят лет после осуждения Галилея — профессор математики из Базельского университета, Питер Мегерлин, неоднократно подвергался нападкам богословов за то, что принял гелиоцентрическую систему Коперника — ему запретили преподавать ее в университете. Между учеными и богословами Базеля произошел раскол, Бернулли же целиком и полностью встал на сторону ученых.
    Вскоре талант Бернулли был замечен научным сообществом, и когда в конце 1686 г. Мегерлин умер, его место профессора математики занял Бернулли. К тому времени Бернулли трудился над задачами, связанными с азартными играми. Наибольшее влияние на него оказал голландский ученый и в частности математик Христиан Гюйгенс, который не только усовершенствовал телескоп и первым разглядел кольца Сатурна, создал первые маятниковые часы (основываясь на идеях Галилея), способствовал развитию волновой теории света, но и, вдохновленный мыслями Паскаля и Ферма, написал учебник по вероятности.
    Для Бернулли учебник Гюйгенса стал откровением. Что однако не помешало Бернулли увидеть ограниченность теории Гюйгенса. Она могла удовлетворять потребностям игроков в азартные игры, но оставалась бесполезной в других, более насущных сферах жизни. Как можно точно определить вероятность достоверности свидетельских показаний? Или вероятность того, кто — Карл I, король Англии, Шотландии и Ирландии, или Мария I, королева Шотландии — лучше всего играл в гольф? (Оба любили этот вид спорта.) Бернулли считал: чтобы стало возможным рациональное принятие решения, должен быть надежный, подкрепленный математически способ определения вероятностей. Его взгляд отражал культуру тех времен: ведение дел способом, согласующимся с вероятностными ожиданиями, считалось признаком человека здравомыслящего. Но, как считал Бернулли, не одна только субъективность ограничивала ту теорию случайности. По его мнению, теория не действовала в ситуациях незнания, где вероятности различных исходов могли быть определены в принципе, но не на практике. Именно это я и обсуждал с Моше, именно с этим и столкнулся Джаггер: каковы шансы того, что неидеальная кость выдаст 6? Каковы ваши шансы заразиться чумой? Какова вероятность того, что ваш нагрудный щит выдержит удар шпагой противника? Бернулли считал: и в субъективной, и в неопределенной ситуациях будет истинным «безумием» надеяться на некое предварительное знание, то есть знание априори относительно вероятностей, описанных в учебнике Гюйгенса{91}.
    Бернулли видел ответ на вопрос таким же, каким позднее его увидит Джаггер: вместо того, чтобы зависеть от данных нам вероятностей, мы должны определить их сами, посредством наблюдений. Будучи математиком, Бернулли добивался точности мысли. Допустим, перед вами вращаются несколько рулеточных колес. Как точно сможете вы определить неявные вероятности и с какой долей уверенности? Об этом мы поговорим в следующей главе, однако это не те вопросы, на которые Бернулли смог ответить. Вместо них он нашел ответ на вопрос, тесно связанный с вышеупомянутыми: насколько четко неявные вероятности отражаются в реальных результатах? Бернулли принял за очевидное то, что мы вполне оправданно ожидаем: с увеличением числа попыток наблюдаемые периодичности с большей или меньшей точностью отразят неявные вероятности. Бернулли конечно же не был первым, кто так считал. Однако он стал первым, кто формально рассмотрел данную проблему, перевел идею в плоскость доказательства и выразил в количественной форме, задавая вопрос: сколько попыток необходимо и насколько уверенными мы можем быть? Он также стал одним из первых, кто оценил важность нового изобретения — математического анализа — при решении подобных задач.

    Год, когда Бернулли назначили профессором Базельского университета, оказался важнейшим годом в истории математики: в этот год Готфрид Лейбниц опубликовал свой революционный труд, в котором изложил основы интегрального исчисления — дополнение к работе 1684 г. об исчислении дифференциальном. Ньютон напечатает собственную работу по данной теме в 1687 г., в своих «Математических началах натуральной философии» (часто сокращаемых до «Начал»). В этих прогрессивных работах будет содержаться ключ к работе Бернулли на тему теории случайности.
    Ко времени своих публикаций и Лейбниц, и Ньютон уже не один год размышляли на данную тему, однако из их практически одновременных публикаций трудно было понять, кому принадлежит честь открытия. Великий математик Карл Пирсон (он еще встретится нам в главе 8) сказал: о репутации математиков «последующие поколения судят не по тому, что те сделали, а по тому, что современники приписали тем»{92}. Возможно, Ньютон и Лейбниц согласились бы с подобным утверждением. В любом случае ни один, ни другой не оказались на высоте, к тому же тот, кто настаивал на первенстве, был известен своей резкостью. В то время результат казался запутанным. Немцы и швейцарцы узнали о математическом анализе из труда Лейбница, а англичане и многие французы — из работы Ньютона. С точки зрения современности разница между обоими трудами невелика, однако в конце концов вклад Ньютона часто выделяется, потому как кажется: он в самом деле был первым, а в «Началах» применил свое изобретение для создания современной физики — таким образом «Начала» становятся величайшим научным трудом. Однако Лейбниц разработал более удачную систему обозначений, именно его символы зачастую используются в современном математическом анализе.
    Понять было непросто как Ньютона, так и Лейбница. Помимо того, что «Начала» Ньютона называли величайшим научным трудом, их считали также и «одной из самых недоступных для понимания книг, которые когда-либо были написаны»{93}. А труд Лейбница, если верить биографам Якоба Бернулли, «вообще никто не понимал»; он отличался не только туманностью изложения, но и обилием опечаток. Иоганн, брат Якоба, сказал, что это «скорее загадка, нежели разъяснение»{94}. И в самом деле, работы эти оказались до того невнятными, что ученые высказывали предположение, будто и Лейбниц, и Ньютон намеренно затуманили смысл, чтобы отпугнуть всякого рода любителей. Однако такое таинственное свойство работ сыграло Якобу Бернулли только на руку, поскольку действительно способствовало отделению зерен от плевел, а интеллект Бернулли подпадал именно под первую категорию. Как только он расшифровал мысли Лейбница, в его распоряжении оказалось оружие, которым владела лишь горстка людей в целом мире, а уже с помощью этого оружия Бернулли мог запросто решить задачи, к которым другие не могли даже подступиться.
    Набор основных понятий и для математического анализа, и для работы Бернулли заключается в последовательностях, рядах и пределах. Термин «последовательность» для математика значит практически то же самое, что и для любого другого: определенный порядок следования элементов, таких как точки или числа. Ряды — это не что иное, как сумма последовательностей чисел. Если создается впечатление, будто элементы последовательности ведут к чему-то — к определенной конечной точке или конкретному числу, — то в таком случае мы говорим о пределе последовательности.
    Хотя математический анализ представляет собой очередное затруднение на пути к пониманию последовательностей, он, как и многие другие идеи, уже был известен древним грекам. В V в. до н.э. греческий философ Зенон с помощью любопытной последовательности сформулировал парадокс, над которым до сих пор любят поспорить студенты философского факультета, особенно после того, как пропустят по кружке-другой пива. Парадокс Зенона заключается в следующем. Предположим, ученик хочет подойти к двери, расстояние до которой — 1 метр. (В качестве единицы измерения мы берем метр, однако это для удобства; то же самое верно для мили и т.д.) Прежде, чем достигнуть двери, он должен достигнуть точки на полпути к ней. Однако для того, чтобы достигнуть точки на полпути, он прежде должен достигнуть точки на полпути к точке на полпути к двери — иными словами, точки на расстоянии одной четверти пути до двери. И так далее до бесконечности. То есть, чтобы дойти до конечного пункта, он должен пройти следующие последовательности расстояний: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра и так далее. Зенон утверждал: так как последовательности выстраиваются до бесконечности, ученику придется идти бесконечное число конечных отрезков пути. Зенон высказался, что это займет у ученика бесконечное количество времени. И вывод Зенона: он никуда не придет.
    В течение столетий кто только ни пытался разрешить это затруднение: от Аристотеля до Канта. Диоген, основатель школы киников, решил подойти к задаче с позиций эмпирических: он просто-напросто сделал несколько шагов и тем самым наглядно продемонстрировал, что дошел до пункта назначения. Тем из нас, кто не учился на факультете философии, подобное решение покажется вполне приемлемым. Однако для Зенона этого было бы недостаточно. Зенон сознавал противоречие между логическим доказательством и доказательством на уровне физических ощущений, вот только он, в отличие от Диогена, доверял именно логике. И застрял на этом вопросе не только Зенон. Даже Диогену пришлось признать, что его собственный ответ оставляет нас перед вопросом, приводящим в тупик (и, как оказалось, отличающимся глубиной): если доказательство, полученное с помощью наших органов чувств, верно, тогда что неверно в логических построениях Зенона?
    Рассмотрим последовательность расстояний в парадоксе Зенона: 1/2 метра, 1/4 метра, 1/8 метра, 1/16 метра и так далее (градация все уменьшается). Эта последовательность обладает бесконечным числом ограничений, поэтому вычислить ее сумму путем простого сложения не получится. Однако можно заметить, что хотя число ограничений бесконечно, ограничения эти в своей последовательности все уменьшаются и уменьшаются. Может, существует конечное равновесие между бесконечным потоком ограничений и их бесконечно уменьшающимся размером? Этот вопрос как раз относится к тому самому типу вопросов, на которые возможно ответить, прибегнув к понятиям последовательностей, рядов и пределов. Чтобы увидеть его в действии, не нужно пытаться подсчитать, как далеко зайдет ученик после всей бесконечности Зеноновых интервалов, нужно каждый раз рассматривать по интервалу. Вот расстояния, которые прошел ученик после первых нескольких интервалов:

    • После первого интервала: ½ метра
    • После второго интервала: ½ метра + ¼ метра = ¾ метра
    • После третьего интервала: ½ метра + ¼ метра + 1/8 метра = 7/8 метра
    • После четвертого интервала: ½ метра + ¼ метра + 1/8 метра + 1/16 метра = 15/16 метра

    Таково распределение чисел: 1/2 метра, 3/4 метра, 7/8 метра, 15/16 метра... Знаменатель — степень двойки, числитель на одну часть меньше знаменателя. Глядя на таким образом распределившиеся числа, можно вычислить: через 10 интервалов ученик пройдет 1,023/1,024 метра; через 20 интервалов — 1,048,575/1,048,576 метра и так далее. Из распределения чисел ясно, что Зенон прав — чем больше интервалов, тем больше получаемая сумма расстояний. Однако Зенон не прав, когда говорит, что сумма стремится к бесконечности. Наоборот, числа приближаются к 1; математики сказали бы, что 1 метр является пределом данной последовательности расстояний. Что имеет смысл, потому что хотя Зенон и раздробил путь ученика на бесконечное количество интервалов, он, в конце концов, должен пройти всего 1 метр.
    Парадокс Зенона о количестве времени, которое потребуется на то, чтобы пройти путь, но никак не о расстоянии. Если ученик будет шагать в строгом соответствии с интервалами Зенона, ему, конечно же, придется попотеть (не говоря уже о том, что он должен будет совершать крошечные, меньше миллиметра шаги)! Однако если он станет передвигаться с постоянной скоростью, не соблюдая воображаемые Зеноновы интервалы — а почему бы и нет? — время, которое потребуется на преодоление каждого из интервалов, будет пропорционально расстоянию, пройденному за этот интервал, а поскольку в целом отрезок пути конечен, конечно и общее время и — к счастью для всех нас — движение все-таки возможно.
    Хотя современная концепция пределов была разработана намного позже того времени, в котором жил Зенон, да и не только он, а и Бернулли — это произошло в XIX в.{95} — именно она составляет суть математического анализа, и именно таковы по сути своей попытки Якоба Бернулли исследовать связь между вероятностями и наблюдением. В частности, Бернулли изучил, что происходит в пределе сколь угодно большого числа многократных наблюдений. Подбросьте сбалансированную монету 10 раз: у вас может выпасть 7 орлов. Однако если вы подбросите монету сто тысяч миллиардов раз, у вас, скорее всего, получится половина на половину. В 1940-х гг. южноафриканский математик Джон Керрич решил проверить это на практике, подбрасывая монету множество раз, приближавшееся к ста тысячам миллиардов — на самом деле 10 тыс. — и записывая результат каждого броска{96}. Вы можете подумать: этот математик мог бы заняться чем-нибудь более полезным, однако он в то время был военнопленным — его угораздило оказаться в Копенгагене как раз тогда, когда немцы в апреле 1940 г. захватили Данию. Согласно полученным данным, после 100 бросков орлы получались только в 44%, однако к тому времени, когда было сделано 10 тыс. бросков, цифра оказалась гораздо ближе к половине: 50,67%. Как выразить этот феномен количественно? Ответ на этот вопрос дал Бернулли.
    Согласно свидетельствам историка и философа Иэна Хэкинга, работа Бернулли «явилась для общественности ярким предвестником всего того, что нам известно о ней теперь; ее математическая глубина, широчайшее практическое применение, двойственность и приглашение к философским размышлениям. Вероятность проявилась во всей своей полноте». Если же привести более скромные слова Бернулли, то его исследование оказалось «не лишенным новизны и в то же время... невероятной практичности». Бернулли писал, что это стоило ему «огромных усилий»{97}. Он работал над своим трудом двадцать лет.

    Важнейшим достижением за все двадцать лет непрерывной работы Якоб Бернулли считал «золотую теорему». Ее современные версии, разнящиеся техническими деталями, известны под разными названиями: теорема Бернулли, закон больших чисел, обычный закон больших чисел. Фраза «закон больших чисел» фигурирует потому, что, как мы уже говорили, теорема Бернулли связана со способом, с помощью которого результаты отражают неявные вероятности в процессе многократных наблюдений. Однако мы будем придерживаться терминологии Бернулли и станем называть его теорему «золотой теоремой», потому как будем иметь дело с ее первоначальной версией{98}.
    Хотя Бернулли интересовало практическое применение, в некоторых его излюбленных примерах фигурирует предмет, в большинстве домов отсутствующий: заполненный разноцветными голышами сосуд. Согласно одной постановке задачи, Бернулли представил сосуд с 3 тыс. белых голышей и 2 тыс. черных, то есть в процентном соотношении как 60% и 40% соответственно. Вы наугад несколько раз вынимаете голыши из сосуда, но «с заменой», то есть перед тем, как вынуть следующий голыш, заменяете уже вынутый, чтобы сохранять соотношение 3 к 2. Таким образом, заранее известно, каковы шансы вынуть белый голыш: 3 из 5 или 60%. В связи с этим экспериментом основной вопрос Бернулли звучит так: насколько строго количество белых голышей будет держаться в рамках 60% и с какой вероятностью?
    Пример с сосудом хорош тем, что те же самые математические выкладки, описывающие выемку голышей из сосуда, могут быть применены и в случае описания любых серий испытаний, в которых каждое испытание имеет два возможных исхода, при условии, если эти исходы случайны, а испытания не зависят друг от друга. В наше время подобную последовательность испытаний называют испытаниями по схеме Бернулли, а серию испытаний — процессом Бернулли. Когда случайное испытание имеет два возможных исхода, один часто в произвольной форме называют «удачным», а другой — «неудачным». Названия эти весьма условны и порой не имеют ничего общего с обыденными значениями слов — ну, скажем, если вам не терпится читать эту книгу дальше, она, мол, удачная, а если вы используете ее, чтобы не дать замерзнуть себе и своей любимой после того, как все поленья в камине выгорели, то неудачная. Подбрасывание монеты, решение голосовать за кандидата А или кандидата В, рождение мальчика или девочки, приобретение или отказ от приобретения той или иной вещи, излечение или невозможность излечения, даже жизнь или смерть — все это примеры испытаний по схеме Бернулли. Действия, имеющие своим результатом множественные исходы, также могут быть смоделированы по схеме Бернулли, если вопрос формулируется так, чтобы ответом на него было «да» или «нет», например: «Кость выпала стороной 4?» или «Остался ли вообще лед на Северном полюсе?» Таким образом, хотя Бернулли писал о голышах и сосудах, все его примеры в равной степени применимы к этим и многим другим аналогичным ситуациям.
    И вот, разобравшись, возвращаемся к сосуду, 60% голышей в котором белые. Если вынуть из сосуда 100 голышей (положив им замену), можно обнаружить, что именно 60 из вынутых белые, но можно вынуть и 50, 59 белых голышей. Каковы шансы того, что из вынутых вами голышей белых будет от 58% до 62%? Каковы шансы того, что вы вынете белых голышей от 59% до 61%? Насколько вы можете быть уверены, если вместо 100 голышей вынете 1 тыс. или даже 1 миллион? Вы никогда не можете быть уверены на все 100%, но возможно ли вынуть достаточно голышей для того, чтобы шансы, скажем, того, что вы вынете белых голышей от 59,9% до 60,1%, стали равны 99,9999%? «Золотая теорема» Бернулли и применима как раз в таких случаях.
    Чтобы воспользоваться ею, придется совершить два выбора. Во-первых, вы должны определить, какая погрешность является для вас приемлемой. Насколько должен быть близок к 60% ряд ваших испытаний? Вам нужно выбрать интервал, например, плюс или минус 1%, 2% или 0,00001%. Во-вторых, вы должны решить, какая неопределенность является для вас приемлемой. Вы не можете быть уверены на 100% в том, что испытание выдаст результаты, к которым вы стремитесь, но вы можете позаботиться о том, чтобы получать удовлетворительный результат в 99 случаях из 100 или 999 случаях из 1 тыс.
    «Золотая теорема» сообщает о том, что всегда возможно вынуть достаточно голышей для того, чтобы быть почти уверенным в том, какой процент белых голышей из вынутых будет ближе всего к 60%, и это несмотря на то, насколько требовательны вы в своем определении этого «почти уверен» и «ближе всего». С помощью теоремы также выводится формула числа испытаний, которые «достаточны» в рамках приведенного выше определения.
    Первая часть закона была достижением на понятийном уровне, именно она и осталась в современной версии теоремы. Что же до второй части — формулы Бернулли — то важно понять: хотя «золотая теорема» определяет число испытаний, достаточных для достижения уверенности и точности, она не говорит, что невозможно достичь этого при меньшем числе испытаний. Это не влияет на первую часть теоремы, для которой достаточно знать лишь то, что число определенных испытаний конечно. Однако Бернулли также намеревался использовать число, выведенное с помощью формулы, в практических целях. Возьмем числовой пример, который Бернулли придумал сам, хотя контекст я изменил. Предположим, 60% избирателей в Базеле поддерживают мэра. Скольких человек необходимо опросить, чтобы шансы обнаружить, что мэра поддерживают от 58% до 62%, равнялись 99,9%, то есть, чтобы получить результаты с точностью плюс-минус 2%? (Предположим, оставаясь в согласии с Бернулли, что опрошенные люди выбраны наугад, однако с заменой. Другими словами, возможно, что одного и того же человека вы опросите более одного раза.) Ответ — 25.550, во времена Бернулли почти все население Базеля. Тот факт, что число это невозможно, от Бернулли не ускользнул. Он также знал, что опытные игроки интуитивно угадывают свои шансы на удачу в новой игре, основываясь на выборке, гораздо меньшей, чем тысячи испытаний.
    Одна из причин того, почему численная оценка Бернулли была так далека от оптимальной, заключается в следующем: его доказательство было основано на множественных аппроксимациях. Другой причиной было то, что в качестве стандарта достоверности он выбрал 99,9% — то есть, он предполагал, что получит неверный ответ (ответ, который отличается от верного более чем на 2%) менее чем в 1 случае из 1000. А это чересчур высокий стандарт. Бернулли назвал его моральной достоверностью, имея в виду степень достоверности, которой, по его мнению, должен обладать человек здравомыслящий, чтобы принять рациональное решение. В наше время мы отказались от понятия моральной достоверности в пользу того, о чем поговорим в последней главе — о статистической значимости — подразумевая, что ваш ответ будет неверным менее чем в 1 случае из 20. Возможно, это скорее к вопросу о том, насколько сильно поменялся мир с тех пор.
    Пользуясь современными математическими методами, статистики продемонстрировали, что в опросе, подобном описанному мною, можно получить статистически значимые результаты с точностью плюс-минус 5%, опросив при этом всего 370 человек. Если же вы опрашиваете 1000, вы выходите на 90% шанс получить верный результат плюс-минус 2% (60% голосование за мэра Базеля). Однако, несмотря на некоторые свои недостатки, «золотая теорема» Бернулли явилась своеобразной точкой отсчета, потому что продемонстрировала, — по крайней мере, в принципе — что достаточно большая выборка почти наверняка отразит неявные настроения населения.

    В реальном мире нам нечасто доводится наблюдать чьи-либо действия в количестве тысяч испытаний. Таким образом, если Бернулли требовался чрезмерно высокий стандарт достоверности, в реальных жизненных ситуациях мы часто совершаем ошибку прямо противоположную: предполагаем, что выборка или серия испытаний является репрезентативной, когда на самом деле она слишком малочисленна, чтобы быть надежной. Например, если во времена Бернулли вы опросили бы 5 жителей Базеля, подсчеты по примеру тех, о которых шла речь в главе 4, продемонстрировали бы: шансы того, что вы получите результат 60% (3 человека) поддержки мэра, равны всего 1 из 3.
    Всего 1 из 3? Разве истинное процентное количество сторонников мэра не должно быть наиболее вероятным исходом в случае выборочного опроса голосующих? На самом деле 1 из 3 и есть самый вероятный исход: шансы найти 0, 1, 2, 4 или 5 сторонников ниже, чем шансы найти 3. Тем не менее 3 сторонника едва ли найдутся: существует так много нерепрезентативных возможностей, что их суммированные шансы становятся в два раза больше шансов того, что ваш опрос точно отражает настроение населения. Таким образом, при опросе 5 голосующих в 2 случаях из 3 вы получите «неверное» процентное количество. В действительности, примерно в 1 случае из 10 вы обнаружите, что все голосующие, которых вы опросили, соглашаются либо с тем, что мэр им симпатичен, либо с тем, что он им не симпатичен. Так что если вы отнеслись к выборке из 5 человек серьезно, вы наверняка либо сильно переоценили, либо сильно недооценили истинную популярность мэра у населения.
    Превратное представление — или ошибочное интуитивное чутье — относительно того, что небольшая выборка точно отразит неявные вероятности, настолько распространено, что Канеман и Тверский дали ему название: закон малых чисел{99}. На самом деле закон малых чисел — вовсе не закон. Это ироничное название, описывающее ошибочную попытку применить закон больших чисел в том случае, когда на самом деле числа не являются большими.
    Если применить не являющийся истинным закон малых чисел только к ситуациям с сосудами, последствия будут невелики, однако, как мы уже говорили, многие события в жизни подпадают под определение процесса Бернулли, так что интуиция часто приводит нас к неправильному истолкованию того, свидетелями чему мы являемся. Вот почему, как я уже писал в главе 1, когда на глазах у людей Шерри Лансинг и Марк Кантон более или менее успешно управляют бизнесом в течение нескольких лет подряд, напрашивается вывод: предшествующий опыт этих управленцев точно предсказывает качество их работы в последующие годы.
    Давайте на основе этих идей рассмотрим пример, о котором я коротко упомянул в главе 4: ситуация, в которой две компании или два сотрудника, работающие в одной фирме, соперничают между собой, при этом практически ни в чем не уступая друг другу. Вспомните о генеральных директорах 500 крупнейших мировых компаний, вошедших в рейтинг журнала «Форчун». Предположим, что каждый из генеральных директоров, имея некоторые знания и умения, обладает определенной вероятностью успеха в каждом году (как бы при этом в их компаниях этот успех ни определяли). Простоты ради предположим, что для этих генеральных директоров удачные годы случаются с такой же периодичностью, что и в примерах с белыми голышами и сторонниками мэра: 60%. (В данном случае чуть большее или чуть меньшее значение числа не оказывает влияния на основную идею.) Означает ли это, что в пределах пятилетнего периода мы можем ожидать от генерального директора успехов в управлении компанией в течение именно трех лет?
    Нет. Как показал предыдущий анализ, даже если генеральные директора все поголовно будут обладать стабильным показателем успеха в 60%, шансы, что в течение заданного пятилетнего периода деятельность конкретного генерального директора отразит это, равны всего 1 к 3! В приложении к 500 компаниям это означало бы, что за последние пять лет около 333 генеральных директоров продемонстрировали уровень деятельности, не отражавший их реальные способности Более того, следует ожидать, что совершенно случайно примерно 1 из 10 генеральных директоров продемонстрирует успех или же неудачу все пять лет подряд. О чем эго говорит? Надежнее судить о людях, основываясь на анализе их способностей, нежели на цифровых показателях. Или же, как выразился Бернулли, «не стоит оценивать людские деяния исходя из результатов»{100}.
    Чтобы возражать против закона малых чисел, нужно обладать твердым характером. Потому как каждый может откинуться на спинку кресла и тыкать в итоговую строку отчета в качестве доказательства. Реальная же оценка знаний человека и его истинных навыков требует доверия, размышлений, верных суждений и, собственно, мужества. Сидя на собрании среди коллег, вы не можете вот так вот запросто встать и заявить: «Не увольняйте ее. Просто она оказалась не на том конце ряда Бернулли». И вряд ли вы завоюете друзей, если выскажетесь о самодовольном типе, умудрившемся продать «тойот» больше всех за всю историю существования автомобильных дилеров, в том духе, что, мол, «это все случайная флуктуация». Согласитесь, происходит такое нечасто. Успешные годы руководителей приписываются их исключительным способностям, объясняются дальновидностью. Когда же успеха не наблюдается, мы зачастую предполагаем, что неудачи точно отражают ту самую пропорцию, в которой таланты человека и его способности заполняют сосуд.
    Еще одно ошибочное понятие, связанное с законом больших чисел, состоит в следующем: событие произойдет с большей или меньшей вероятностью по той причине, что за последнее время оно происходило или не происходило. Представление о том, что шансы на событие с постоянной вероятностью возрастают или снижаются в зависимости от того, имело ли событие место в недавнем прошлом, называется заблуждением игрока. Предположим, Керрич подбрасывает монету, выпадает 44 орла на 100 бросков, но ведь монета не будет стремиться к решкам, чтобы сравнять их с орлами. Вот что лежит в основе таких идей, как «удача отвернулась от нее» и «ему везет». Так не бывает. Если на то пошло, полоса везения долго не продлится, а вот полоса невезения, к сожалению, совсем не означает скорого возвращения удачи. И все же заблуждение игрока затрагивает гораздо больший круг людей, чем может показаться, даже если и не на уровне сознательном, то на подсознательном уж точно. Люди ждут, что неудача сменятся удачей, либо беспокоятся, что за везением обязательно последует невезение.
    Помнится, несколько лет назад во время круиза я наблюдал за одним энергичным толстяком, который в поте лица совал и совал доллары в прорезь игрального автомата — машина едва успевала заглатывать банкноты. Его спутник заметил, что я смотрю на толстяка, и произнес всего два слова: «Ему везет». Хотя меня так и подмывало ответить, что вовсе даже ему и не везет, я пошел дальше. Сделав всего несколько шагов, я замер: вдруг замигали лампочки и что-то зазвенело, причем этот звон вовсе не походил на мелодичные трели, которые раздавались из автомата тех двоих. Затем я услышал звук быстро высыпающихся монет, которые, как мне показалось, сыпались не одну минуту — они резво вылетали из игрального автомата. Теперь я знаю, что современные игральные автоматы запрограммированы, выигрыш зависит от генератора случайных чисел, который и по закону, и по своим настройкам действительно должен генерировать, как трубят об этом в рекламе, случайные числа, так что каждый нажим на ручку игрального автомата не зависит от всех предыдущих. И все же... Скажу только, что заблуждение игрока — большая иллюзия.

    Рукопись, в которой Бернулли изложил свою «золотую теорему», вдруг обрывается, хотя выше автор и обещает написать приложение, в котором будут примеры юридического и экономического характера. Похоже, «Бернулли вдруг бросил все, когда увидел число 25.550», написал историк статистики Стивен Штиглер{101}. На самом же деле рукопись Бернулли уже была в печати, когда в августе 1705 г. он умер «от бруцеллеза», дожив до пятидесяти лет. Издатели обратились к Иоганну Бернулли с просьбой закончить рукопись, но Иоганн сказался занятым. Это может выглядеть странным, однако странностей в семействе Бернулли хватало. Если бы пришлось выбрать из всех когда-либо живших математиков человека самого неприятного, можно было бы смело назвать Иоганна Бернулли. В исторических текстах его неоднократно изображали завистливым, тщеславным, обидчивым, упрямым, раздражительным, хвастливым, нечестным, да к тому же еще и изощренным лжецом. Он многого добился в математике, однако известен также и тем, что выгнал своего сына Даниила из Академии наук, когда тот получил награду, за которую боролся сам. А еще тем, что попытался украсть идеи как своего брата, так и Лейбница, что приписал работу по гидродинамике сына Даниила себе, после чего подделал дату публикации, дабы получилось так, будто его печатный труд вышел раньше.
    К тому времени, как его попросили завершить труд умершего брата, он уже некоторое время работал в Базеле, переехав из Гронингенского университета в Нидерландах и занимая место профессора не математики, а древнегреческого. Якобу такие перемены в карьере брата показались подозрительными, особенно потому, что по его представлениям Иоганн древнегреческого не знал. Якоб написал Лейбницу о своих подозрениях: Иоганн якобы приехал в Базель, чтобы занять его, Якоба, место. Так оно и случилось: после смерти брата Иоганн получил его место.
    Большую часть своей сознательной жизни Иоганн и Якоб не ладили. В своих математических публикациях и письмах они то и дело обменивались оскорбительными выпадами; по отзывам одного из математиков, их переписка «изобиловала такими выражениями, которыми обычно поносят конокрадов»{102}. Таким образом, когда возникла необходимость отредактировать рукопись Якоба посмертно, просьба эта спускалась все ниже и ниже по «цепи питания» и дошла до племянника Якоба, Николаса, сына другого брата, которого тоже звали Николасом. Николасу-младшему в то время исполнилось всего восемнадцать, однако он был одним из учеников Якоба. К сожалению, Николас не был уверен, что справится с задачей, возможно, отчасти потому, что знал о несогласии Лейбница с идеями дяди в отношении применения теории. Поэтому рукопись отлеживалась восемь лет. Наконец, в 1713 г. она была опубликована под названием «Ars conjectandi», или «Искусство предположений». Как и «Мысли» Паскаля, она до сих пор переиздается.
    Якоб Бернулли продемонстрировал: с помощью математического анализа можно понять, как неявные вероятности, лежащие в основе естественных систем, отражаются в данных, которые эти системы производят. Что же до вопроса, на который Бернулли не ответил — вопроса о том, как выяснить, основываясь на полученных данных, неявные вероятности событий, — то ответ на него будет найден лишь спустя десятилетия.

Глава 6. ЛОЖНАЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ И ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОЖНОСТЬ

    Случай этот произошел в 1970-х: как-то на занятия к профессору, преподававшему психологию в Гарварде, пришел один странного вида студент средних лет. После первых лекций студент счел нужным объяснить, зачем он записался на курс{103}. В моей преподавательской практике были случаи, когда особо воспитанные студенты объясняли, почему бросают курс, однако ни один студент не потрудился сказать, почему он решил ходить ко мне. Наверно поэтому я в мечтах представляю, как студент подходит и говорит: «Меня очень заинтересовал ваш предмет, вы замечательно читаете лекции». Однако у того студента причины были иными. Ему нужна была помощь, так как с ним происходило нечто странное. Жена сказала ему то. о чем он в тот момент как раз думал; в результате она с ним разводится. Коллега по работе во время дружеской посиделки в баре вскользь упомянул о сокращении, и через два дня нага студент пополнил ряды безработных. Он признался: за последнее время с ним не раз и не два случались подобного рода несчастья и, как он назвал их, вызывающие тревогу совпадения.
    Поначалу все эти происшествия лишь сбили его с толку. Затем он, как и большинство из нас на его месте, придумал себе некое объяснение с точки зрения общемирового порядка. Которое, однако, резко отличалась от всего того, что наверняка пришло бы в голову каждому из нас: он решил, что участвует в строго засекреченном научном эксперименте. Что эксперимент ставится большой группой ученых под началом известного психолога Б.Ф. Скиннера. И что когда эксперимент закончится, он, участник, прославится, и его назначат на высокий государственный пост. Вот почему, сказал студент, он записался на курс. Он хотел узнать: как, основываясь на множестве накопившихся к тому времени доказательств, проверить свое предположение.
    Спустя некоторое время, когда курс лекций был прочитан, студент снова подошел к профессору. И сообщил, что эксперимент продолжается; он же теперь судится со своим бывшим работодателем, который нашел психиатра, готового засвидетельствовать паранойю бывшего работника.
    Одной из навязчивых, по мнению психиатра, идей был якобы выдуманный священник из восемнадцатого века, на реальности существования которого настаивал бывший работник. В частности, психиатр высмеивал утверждение, будто этот священник, увлекаясь на досуге математикой, изобрел причудливую теорию вероятностей. Автор идеи утверждал, что священника звали Томас Байес. А теория его описывала следующее: каким образом можно оценить вероятность того, что некое событие произойдет, если произойдет некое другое событие. Каковы шансы того, что этот студент станет объектом скрытых наблюдений психологов? Следует признать, они невелики. Но что, если чья-то жена высказывает вслух тайные мысли мужа, а коллега за кружкой пива в непринужденной обстановке мимоходом предсказывает увольнение? Студент уверял, что теория Байеса демонстрировала, каким образом необходимо изменить первоначальные подсчеты в свете новых доказательств. И во время суда студент вывалил на судей мешанину из формул и вычислений, подкреплявших его гипотезу, делая вывод о том, что дополнительные доказательства подтверждают: в 999 999 из 1 000 000 его предположения о тайном эксперименте верны. Психиатр со стороны работодателя утверждал, что и священник с математическими наклонностями, и теория — плоды воспаленного воображения бывшего работника.
    Студент попросил профессора помочь с опровержением этого утверждения. Профессор согласился. И у него были на то веские причины, потому как Томас Байес, родившийся в Лондоне в 1701 г., действительно был священником, имевшим приход в Танбридж-Уэлс. Байес умер в 1761 г и был похоронен на территории лондонского парка Банхилл-Филдс, в той же самой могиле, что и его отец Джошуа, также служитель церкви. Томас Байес в самом деле изобрел теорию «условных вероятностей», чтобы доказать, что теория вероятностей может распространяться не только на независимые события, но и на события, чьи исходы зависят друг от друга. Например, и вероятность того, что случайно выбранный человек окажется психически больным, и вероятность того, что случайно выбранный человек утверждает, будто жена читает его мысли, весьма низки, однако вероятность того, что человек психически болен, если он утверждает, будто жена читает его мысли, уже гораздо выше, как и вероятность того, что человек утверждает, будто жена читает его мысли, если при этом он психически болен. Как все эти вероятности связаны между собой? Ответ следует искать в области условных вероятностей.
    Профессор дал показание под присягой: подтвердил реальное существование Байеса и его теории, хотя и не высказался в поддержку специфических и сомнительных вычислений, которые, как утверждал теперь уже бывший студент, доказывали его вменяемость. Жалость вызывает не сам шизофреник, человек уже немолодой, а команда врачей и юристов, которую сколотило обвинение. Печален тот факт, что некоторые люди больны шизофренией, но хотя лекарства И могут помочь в излечении болезни, они не в силах побороть невежество. Как мы дальше убедимся, неосведомленность об идеях Томаса Байеса лежит в основе многих серьезных ошибок, будто то медицинские диагнозы или судебные решения. Во время же обучения будущих врачей и юристов с невежеством этим редко когда борются.
    И в наши дни мы выносим суждения согласно теории Байеса. В одном фильме рассказывается об адвокате, у которого была замечательная работа, очаровательная жена, идеальная семья. Он любил жену и дочь, но ощущал в своей жизни некую пустоту.