Скачать fb2
Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Аннотация

    Основу задачника составили варианты письменных работ по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов Москвы.
    Сборник содержит около 500 типовых задач. K каждой задаче дается до трех указаний, помогающих найти правильный путь к решению, а затем приводится подробное решение.
    Пособие может использоваться при самостоятельной подготовке к экзаменам в вуз, а также на подготовительных отделениях и курсах.


Альберт Анатольевич Рывкин, Евгений Борисович Ваховский Сборник задач по математике с решениями

Слово к читателю

    Перед вами, дорогой читатель, задачник, адресованный тем, кто готовится к поступлению в вуз. Подобных пособий много, и поэтому, прежде чем приступить к систематическим занятиям, вам предстоит сделать разумный выбор.
    Данный сборник представляет собой альтернативу существующим пособиям. Это не набор задач, а набор идей и приемов, используемый при их составлении и решении. И набор минимальный: здесь не тысячи, а примерно 500 задач. На каждую можно потратить по полчаса, а на некоторые — даже по часу. Но общий лимит времени, отведенного на подготовку к вступительным экзаменам, окажется приемлемым.
    Мы построили книгу так, чтобы научить читателя самостоятельно решать математические задачи. А для этого он прежде всего должен понять особенности этих задач и задуматься над тем, что их отличает от задач, формулируемых в других науках. Надеемся, что такое понимание появится у читателя после того, как он прочтет материал, содержащийся во введении. Тем самым будут созданы предпосылки для успешной работы с материалом основных глав книги, и читатель сможет перейти к решению задач, приобретая необходимые навыки и накапливая опыт по их разумному применению.
    Чтобы помочь в этом читателю, мы избрали простейшую форму, снабдив каждую задачу указаниями, т. е. подсказками, помогающими найти правильный путь к решению. Таких подсказок может быть от одной до трех. Задач с тремя подсказками совсем немного. Для большинства задач имеются одно или два указания. Пользоваться ими можно легко научиться, приступив к систематической работе с задачником. Наш совет: не надо торопиться сразу читать решения. Иной раз, не зная сути указаний, будет трудно его понять.
    Первые и вторые указания собраны в самостоятельные разделы. Если к задаче дано только первое указание, то в конце его стоит знак (!). В тех случаях, когда не удается обойтись двумя указаниями, в конце второго стоит знак (!!) и непосредственно после него помещено третье (дополнительное) указание.
    Итак, данный задачник содержит необходимый минимум задач, которые предстоит научиться решать при подготовке к вступительному экзамену. Удобно пользоваться двумя задачниками одновременно: данным — для приобретения навыков и хорошо известным задачником M. И. Сканави — для проверки достигнутого уровня подготовки.
    В издание включены 50 новых задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в последние годы. Вместе с тем некоторые задачи, не отражающие современную программу математики средней школы, исключены. Оставлены лишь задачи по комбинаторике, которые полезны для факультативных занятий и нужны тем, кто готовится к вступительному экзамену по биологии.
    В свое время мы написали этот задачник с замечательным педагогом — Евгением Борисовичем Ваховским. При подготовке данного издания я стремился сохранить уважительное отношение к нашему читателю, которое всегда было для нас обязательным требованием.
    Я желаю каждому, кто воспользуется этой книгой, успехов и надеюсь, что вы пришлете свои замечания, пожелания, а также возможные уточнения и дополнения в адрес издательства.
    А. Рывкин

Введение

    Способы доказательных рассуждений в математике и в других научных дисциплинах различны. Естественным для человеческого сознания является индуктивное мышление, т. е. накопление фактов и последующее их обобщение в рамках теории. В математике все не так. Математика — наука дедуктивная, в ней от общих понятий переходят к частным, устанавливая свойства соответствующих им объектов.
    Исходные положения математической теории как бы заранее фиксированы. Это базовые понятия, которые не могут быть математически определены через другие, более широкие понятия, так как сами являются строительными элементами будущей теории (точка, прямая, плоскость, натуральное число). Отношения между базовыми понятиями, принимаемые как истинные, называют аксиомами. Строго говоря, сами базовые понятия вместе с аксиомами, которые их связывают, можно воспринимать как общее развернутое определение основных базовых понятий. (Это не исключает последующего пополнения списка базовых понятий и аксиом.)
    Поясним, что мы понимаем под математическим определением и чем оно отличается от других определений.
    Иногда говорят, что натуральные числа — это числа, возникающие в процессе счета. Или же, что точка — трехмерный геометрический объект, не имеющий длины, ширины и высоты. Дают и такое определение числа 2: 2 — это то общее, что присуще всем группам предметов, состоящих из двух элементов.
    Такие определения нельзя считать математическими.
    Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.
    Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.
    Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений. Натуральное число было определено через более общее понятие числа, а точка — через более широкое понятие трехмерного геометрического объекта. Однако в этом случае возникает вопрос: что такое число и что такое трехмерный геометрический объект? Эти два понятия нельзя избрать в качестве базовых, ибо они слишком сложны, чтобы им можно было дать разумное интуитивное толкование. Понятие числа в математике достаточно изящно конструируется из понятия натурального числа путем последовательного расширения наших представлений о числе: вводятся отрицательные целые числа и нуль, рациональные числа, иррациональные числа. Точно так же понятие геометрического объекта предполагает большое разнообразие конкретных реализаций, конструируемых посредством определений из простейших, т. е. элементарных понятий, какими являются точка, прямая, плоскость. K тому же мы не обязаны ограничиваться рассмотрением только трехмерного геометрического пространства, в котором плоскость имеет два измерения, прямая — одно, а точка имеет нулевую размерность. Если мы решимся исследовать пространства четырех измерений и более, то размерности точки, прямой, плоскости останутся неизменными.
    Приведем примеры того, как в математике определяют новые понятия (они набраны прописными буквами) и укажем в каждом из определений родовое понятие (полужирный шрифт) и видовое отличие (курсив).
    ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны и параллельны.
    ТРАПЕЦИЯ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.
    ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, кратные числу 2.
    РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа вида p/q, где p и qцелые числа, q ≠ 0.
    Рассмотрите самостоятельно определения предела и производной.
    У стандартных математических задач есть одно важное свойство: для их решения не требуется озарения. Нет необходимости долго размышлять над такой задачей в поисках подхода к ее решению. То, что обычно следует предпринимать, вообще говоря, известно заранее. Нужно только это разумно и эффективно осуществить.
    Начинают обычно с перевода содержательных условий задачи на язык математических символов и соотношений. А когда это сделано, остается позаботиться об использовании всех условий задачи. Именно всех условий, ибо в правильно поставленной математической задаче лишних условий быть не может. Поэтому каждое из условий непременно должно быть использовано в процессе решения.
    Часто спрашивают: обязательно ли стремиться к полной формализации условий задачи? Хотя среди преподавателей еще бытует такая традиция, делать это не только не обязательно, но часто и не нужно. Увлечение формальной записью может внешне неоправданно усложнить задачу, сделать ее трудно обозримой и даже отпугивающей. Соблюдать меру здесь очень уместно. А там, где появляется чувство меры, наука хотя бы частично уступает свои права искусству. Вот почему математики так высоко ценят изящные доказательства и с большой неохотой ведут длинные и монотонные выкладки. Увы, в реальной жизни без них не обойтись.
    А теперь рассмотрим два простых примера.
    Первый показывает, насколько результат обыденного мышления может расходиться с результатом, полученным математически.

    Задача 1. На склад привезли 100 кг ягод влажности 99%. Ягоды полежали и усохли. Их влажность стала 98%. Сколько килограммов ягод стало после усушки? Ответ дать с точностью до 1 кг.
    Последнее замечание неявно подсказывает неверный вывод: поскольку влажность стала на 1%-й пункт ниже, а всего было 100 кг, то и потери массы составили где-то около 1 кг (числа 100, 99 и 98 мало отличаются одно от другого). Такой вывод возникает как следствие применения при решении математической задачи неоправданной аналогии.
    А теперь поступим так, как должен поступить математик.
    Переведем условие задачи на математический язык. Ягод было 100 кг, а их исходная влажность равнялась 99%. Это означает, что сухого вещества в поступивших на склад ягодах было ровно 1 кг, а 99 кг составляла масса содержащейся в них воды. После усушки масса сухого вещества осталась прежней. Изменилась только масса воды. Но если вначале сухое вещество составляло 1% от общей массы ягод, то после усушки тот же 1 кг сухого вещества составил уже 2% от новой общей массы ягод. Это означает, что после усушки общая масса ягод стала всего 50 кг, так как 2% от 50 кг и есть 1 кг сухого вещества.
    Задача была решена без какой-либо явной формализации, хотя вполне строго. Не составит труда предложить и ее формальное решение.
    Обозначим через x массу ягод после усушки. (В условии задачи как раз и требуется найти численное значение x.) Тогда сухое вещество (а его масса равна 1 кг) составляет (100 − 98)%, т. е. 2% от x. Получаем уравнение

    0,02 x = 1, или x = 1 : 0,02 = 50 (кг).

    Утверждаю: математическая задача средней трудности, как правило, достаточно просто решается путем перевода ее содержательных условий на язык математических символов и соотношений и последующей заботой о том, чтобы каждое условие задачи было эффективно использовано. Трудности возникают, когда мы либо не умеем формализовать задачу, либо не знаем, как использовать какое-то из ее условий, либо недостаточно знакомы с необходимыми для ее решения положениями теории.
    Приведем пример еще одной задачи, на этот раз геометрической, решение которой находится сразу, как только правильно использованы все ее условия.

    Задача 2. Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равна а. Одна из сторон этого четырехугольника имеет длину b, а смежная с нею — длину c. Найти две другие стороны четырехугольника.
    Прежде всего нужно использовать условие задачи, в силу которого четырехугольник описан около окружности, а для этого вспомнить основное свойство такого четырехугольника (если оно доказывается в рамках теоретического курса) или непосредственно вывести это свойство (если в теоретическом курсе его нет).
    Обратимся к рисунку и проведем из центра окружности O радиусы в точки ее касания P, R, S, и T со сторонами четырехугольника AB, BC, CD и DA, соответственно.
    Каждый из радиусов будет перпендикулярен соответствующей ему касательной, а отрезки двух касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут попарно равны, т. е. АТ = АP, PВ = ВR, RС = CS, SD = DT.


    Отсюда вытекает простое свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны как равносоставленные, т. е. как состоящие из одинаковых по длине отрезков. (Рисунок позволяет убедиться в этом непосредственно.)
    Воспользуемся остальными условиями задачи: AB + DC = AD + BC = а. Пусть, например, BC = b, DC = с. Тогда AB = а − с, AD = а − b.

    Еще раз обратите внимание: мы не размышляли в поисках решения задачи, а лишь заботились о привлечении необходимых теоретических сведений, позволяющих эффективно использовать ее условия. Если вы наблюдательны, то могли заметить, что мы упомянули о том, что радиусы перпендикулярны своим касательным, но не воспользовались этим фактом. Это не совсем так, ибо косвенно мы к нему обращались. Решая задачу, мы воспользовались теоремой о том, что суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, и даже наметили доказательство этой содержащейся в школьном курсе теоремы, что, вообще говоря, излишне. Мы воспроизвели идею доказательства теоремы, ибо иначе решение было бы менее понятным. Исчезли бы важные геометрические ассоциации, позволяющие усвоить лежащую в его основе идею. По ходу доказательства мы воспользовались теоремой, в силу которой отрезки двух касательных к окружности, которые проведены из одной точки вне этой окружности, равны. Например, для точки С это будут отрезки SC и RC, т. е. SC = RC. При доказательстве этого
    факта устанавливают равенство двух прямоугольных треугольников ORC и OSC (они равны, так как имеют общую гипотенузу OC и катеты OR = OS, равные радиусу окружности).

    Когда-то для всех общеобразовательных школ был единый учебник геометрии. Десятилетиями он ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.
    Не всегда решить задачу удается так же просто, как в двух рассмотренных примерах. Бывает, что приходится выбирать из нескольких возможных вариантов перевода содержательной задачи на язык математических соотношений. При этом выбор может оказаться неудачным. Приходится отступить и начать сначала. В процессе подготовки к экзаменам вам и предстоит научиться делать правильный выбор в ситуациях, близких к стандартным.
    И еще: вам предстоит вести правильный диалог с экзаменатором на устном экзамене и с самим собой — на письменном. Экзаменатор, вслушиваясь в ваш ответ на билет, время от времени будет задавать один и тот же вопрос: «Почему?». Не следует удивляться непонятливости вашего экзаменатора. Он задает этот вопрос, чтобы помочь вам. Вы должны были задать этот вопрос себе сами и своевременно на него ответить. Возможно, вы сочли эту подробность излишней, само собой разумеющейся. Тогда вам нужно правильно ответить на вопрос экзаменатора, и он будет удовлетворен. Но не исключено, что правильного ответа вы попросту не знаете. Первым сигналом неблагополучия станет для экзаменатора ваш недовольный тон. Мол, неужели этот факт не очевиден? Еще хуже, если вы начнете прямо агитировать экзаменатора, призывая его стать
    сторонником вашей точки зрения, в справедливости которой вы, конечно же, не сомневаетесь. Выбор средств убеждения бывает у абитуриентов весьма широким. Нет смысла их перечислять, ибо все они, за небольшим исключением, напрасны. Позднее на апелляции абитуриент будет утверждать, что отвечал правильно и полно. Он будет и впредь уверен в своей правоте, если не усвоит, что, во-первых, вопрос «Почему?» экзаменатор задает не из любопытства и не из вредности, а из желания добиться от вас полного ответа на вопрос или обоснованного решения задачи. Во-вторых, вы обязаны знать, что в математике существует ровно шесть различных ответов на вопрос «Почему?». Вот эти ответы:
    1) по условию (теоремы, задачи);
    2) по сделанному нами предположению;
    3) по определению;
    4) в силу такой-то аксиомы;
    5) в силу такой-то теоремы (следствия, свойства, формулы, соотношения, леммы — тоже являются теоремами);
    6) приступаем к доказательству.
    Только шестой из этих вариантов позволяет начать ответ словами «Потому что...». Это и означает, что вы приступаете к доказательству. Но даже в этом случае лучше этих слов не произносить, а сказать: «Сейчас мы это утверждение докажем.». Тем более не следует говорить: «Потому что.», когда требуется одна из первых пяти форм ответа на вопрос «Почему?».
    Приведем несколько примеров.

    Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему
    (√a)² = a?
    Ответ. По определению квадратного корня.

    Пример 2. Почему
    Ответ. По определению логарифма.

    Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ≥ 0) называют неотрицательное число √a , квадрат которого равен а.
    А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а ≠ 1) называют такое число loga N, что основание а в степени loga N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.

    Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?
    Ответ. По определению параллельных прямых.

    Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?
    Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.

    Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?
    Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.

Задачи

Глава 1
Геометрические задачи на плоскости

    Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; — медиана стороны а; lA — биссектриса угла А; ha — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.
    Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.
    Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.
    Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:
.
    Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.
    Площадь четырехугольника: S = ½ d1d2 sin α, где d1 и d2 — длины его диагоналей, а α — угол между ними.
    При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.
    Если
 .
    Если
, то
   
 , где комбинация знаков берется любая, но одинаковая для числителя и знаменателя.

    1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность O радиусом R. Окружность O1 касается двух сторон AB и BC треугольника и окружности O. Найдите расстояние от центра окружности О1 до вершины А.
    1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом α при основании больше радиуса вписанного в него круга на m. Определите основание треугольника и радиус описанной окружности.
    1.3. Докажите, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.
    1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как pq : l.
    1.5. Даны углы A, B, C треугольника ABC. Пусть окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника соответственно в точках A1, B1, C1. Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC.
    1.6. Дан треугольник ABC, углы B и C которого относятся как 3 : 1, а биссектриса угла А делит площадь треугольника в отношении 2 : 1. Найдите углы треугольника.
    1.7. Найдите длину l биссектрисы внешнего угла А треугольника, если даны его стороны b и c и угол А между ними (b ≠ c).
    1.8. В треугольнике площади S, с острым углом α при вершине А биссектриса угла А в p раз меньше радиуса описанного и в q раз больше радиуса вписанного круга. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла А.
    1.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN. Пусть O — точка их пересечения. Известно, что
    AO : OM = √3 : 1, а BOON = 1 : (√3 − 1).
    Найдите углы треугольника.
    1.10. Внутри угла а взята точка M. Ее проекции P и на стороны угла удалены от вершины O угла на расстояния OPp и OQ = q. Найдите расстояния MP и MQ от точки M до сторон угла.
    1.11. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 2√2 см, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5 : 1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.
    1.12. В треугольнике ABC разность углов B и C равна π/2. Определите угол C, если известно, что сумма сторон b и c равна k, а высота, опущенная из вершины A, равна h.
    1.13. В треугольнике ABC имеется точка O, такая, что углы ABO, ВСО и CAO равны α. Выразите ctg α через площадь треугольника и его стороны.
    1.14. В треугольнике ABC дана разность φ углов A и В (φ = A − В > 0). Известно, что высота, опущенная из С на AB, равна BC − AC. Найдите углы треугольника.
    1.15. Даны длины высот AA1 = ha и ВВ1 = hb треугольника ABC и длина CDl биссектрисы угла С. Найдите угол С.
    1.16. В треугольник с основанием а и противоположным углом α вписана окружность Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность Найдите ее радиус.
    1.17. Докажите, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.
    1.18. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен r, сторона BC больше r в k раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше r в 4 раза. Найдите полупериметр p, tg A/2 и стороны b и c.
    1.19. Углы С, A, В треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, K — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, L — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что треугольники ABC и OKL подобны.
    1.20. В треугольнике ABC углы A, В и С образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что
    1.21. Докажите, что если P, Q, R — соответственно точки пересечения каждой из сторон BC, CA, AB (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то
    (теорема Менелая).
    1.22. Точка D находится на стороне BC треугольника ABC. Докажите, что
    AB² · DC + AC² · BD − AD² · BC = BC · DC · BD
    (теорема Стюарта).
    1.23. На сторонах треугольника ABC взяты точки P, Q и R так, что три прямые AP, BQ и CR пересекаются в одной точке. Докажите, что
    (теорема Чевы).
    1.24. Через произвольную точку O, взятую внутри треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN, параллельные соответственно AB, AC, BC, причем F и M лежат на AB, E и K — на BC, N и D — на AC. Докажите, что
    1.25. Через центр O правильного треугольника ABC проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
    1.26. Вокруг треугольника ABC, в котором а = 2, b = 3 и угол C = 60°, описана окружность. Определите радиусы окружностей, проходящих через две вершины треугольника и центр описанной окружности.
    1.27. Стороны треугольника связаны соотношением а² = c(b + с). Докажите, что угол A вдвое больше угла C.
    1.28. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что если OA² = OB · OC, то
    1.29. Площадь , треугольника ABC удовлетворяет соотношению S = а² − (b − с)². Найдите угол A.
    1.30. На сторонах треугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что расстояние между центрами квадратов, построенных на боковых сторонах, равно расстоянию от центра квадрата, построенного на основании, до противоположной вершины треугольника.
    1.31. В треугольнике ABC единичной площади проведен отрезок AD, пересекающий медиану CF в точке M, причем FM = ¼CF. Найдите площадь треугольника ABD.
    1.32. Докажите, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
    1.33. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Найдите сумму углов при большем основании трапеции.
    1.34. Через центр квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке N, причем AN : NB = 1 : 2. На этой прямой взята произвольная точка M, лежащая внутри квадрата. Докажите, что расстояния от точки M до сторон квадрата AB, AD, BC и CD, взятые в названном порядке, образуют арифметическую прогрессию.
    1.35. Квадрат и правильный треугольник, имеющие общую вершину, вписаны в окружность единичного радиуса. Найдите площадь, покрытую и квадратом и треугольником.
    1.36. В окружность вписаны равнобедренный остроугольный треугольник площадью S, и трапеция так, что ее большее основание совпадает с диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Средняя линия трапеции равна l. Найдите высоту трапеции.
    1.37. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади треугольника AOD, где O —точка пересечения диагоналей трапеции, если известно, что
.
    1.38. Два правильных многоугольника с периметрами a и b описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют каждый вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.
    1.39. Внутри угла AOB, меньшего π, дана точка M, находящаяся на расстоянии а от вершины угла. Отрезок ОМ образует углы α и β со сторонами угла AOB. Найдите радиус R окружности, проходящей через M и отсекающей на сторонах угла AOB хорды, равные 2а.
    1.40. Из внешней точки A проведены две взаимно перпендикулярные секущие ABD и ACE к окружности с центром O. Площади треугольников ABC и АDЕ относятся как m : n. Определите величины дуг BC и , каждая из которых меньше полуокружности.
    1.41. Из точки А, лежащей на окружности радиуса r, проведены две хорды AC и AB. Эти хорды лежат по одну сторону от диаметра окружности, проходящего через точку А. Длина большей хорды равна b, а угол ВАС равен α. Найдите радиус окружности, которая касается хорд AB и AC и дуги BC.
    1.42. Даны две концентрические окружности радиусов R и r (R > r). Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на одной окружности, а две другие — на другой. При каком соотношении между радиусами данных окружностей решение задачи возможно и при каком соотношении задача имеет единственное решение?
    1.43. В сегмент, дуга которого содержит 120°, вписан квадрат. Определите сторону квадрата, если радиус R круга равен 2 + √19 .
    1.44. У равнобочной трапеции с бо́льшим основанием а и острым углом α высота вдвое меньше меньшего основания. На меньшем основании, как на диаметре, построена окружность. Найдите радиус окружности, касающейся построенной окружности, большего основания и боковой стороны.
    1.45. AB и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности S1. С центром в точке D радиусом BD построена окружность S2. Из точки D проведены две прямые, пересекающие окружность S1 в точках P и Q и дугу AB окружности S2, заключенную внутри окружности S1, в точках M и N. Точки P и Q спроецированы на AB; P1 и Q1 соответственно — их проекции. Докажите, что фигура RMNQ равновелика треугольнику P1Q1D.
    1.46. Через точку P, лежащую вне окружности с центром O и радиусом R, проходят две взаимно перпендикулярные секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках А и С (точка С лежит между P и А), а вторая секущая — в точках В и D (D лежит между P и В). Пусть Р1 — проекция P на AB, а M — одна из точек пересечения AB с окружностью, центр которой Р1, а радиус Р1О. Найдите длину МР.
    1.47. Найдите угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, если точка их пересечения удалена от центра окружности на 3/5 ее радиуса и делит одну хорду пополам, а другую — в отношении 4 : 9.
    1.48. Дан сектор ОАВ (O — центр) с центральным углом в 90° и радиусом R. На отрезке ОВ, как на диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора. Найдите радиус окружности, касающейся этой полуокружности и отрезков ОА и AB.
    1.49. В круге проведена хорда AB, пересекающая диаметр DE круга в точке M и наклоненная к нему под углом φ. Дано, что
, где p и q — известные числа. Из точки В проведена хорда BC, перпендикулярная к диаметру DE, и точка С соединена с точкой А. Найдите площадь треугольника ABC, если радиус круга равен R.
    1.50. Площадь треугольника равна S, а длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна d. Найдите радиус описанной окружности.
    1.51. В треугольнике ABC точка P лежит на стороне AB и AB = 2АР, точка Q — на стороне BC и BC = 4BQ, точка R — на стороне AC и AC = 5АВ. Отрезки PQ и BR пересекаются в точке T. В каком отношении точка T делит отрезок PQ?
    1.52. В треугольнике PQR на стороне PQ взята точка N а на стороне РR — точка L. Отрезки QL и RN пересекаются в точке T. Дано QN = RLQTTL = m : n. Найдите PN : PR.
    1.53. Две окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках M и N. Точка О2 лежит на первой окружности. Найдите периметр фигуры, являющейся пересечением данных окружностей, если
 .
    1.54. Найдите наибольшее возможное значение площади четырехугольника ABCD, если он вписан в окружность радиусом 1 и угол при вершине В меньше 45°.

Глава 2
Построения на плоскости

    2.1. Пункты А и В находятся по разные стороны от реки, ширина которой постоянна, а берега прямолинейны. В каком месте надо возвести мост через реку, чтобы путь от одного пункта в другой был кратчайшим?
    2.2. Постройте равносторонний треугольник ABC, если дана его сторона а и известно, что его стороны AB, AC и биссектриса AD (или их продолжения) проходят соответственно через три данные точки M, N, P, лежащие на одной прямой.
    2.3. Постройте треугольник по стороне а, высоте и разности углов В − С = φ.
    2.4. Постройте треугольник ABC по стороне b, радиусу R описанной окружности и медиане .
    2.5. Постройте треугольник, зная центры его вписанной, описанной и вневписанной окружностей.
    2.6. На сторонах AB и BC треугольника ABC или на их продолжениях постройте соответственно точки D и E так, чтобы ADDE = EC.
    2.7. Через точку, лежащую внутри угла, проведите прямую так, чтобы отсекаемый ею треугольник был наименьшей площади.
    2.8. Постройте треугольник по А, hа и 2p.
    2.9. Внутри данного остроугольного треугольника ABC найдите точку P, сумма расстояний которой от вершин А, В и С была бы наименьшей.
    2.10. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе с и биссектрисе l прямого угла.
    2.11. Постройте четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне.
    2.12. Из данной точки M, лежащей вне круга, проведите секущую так, чтобы внешняя ее часть равнялась внутренней.
    2.13. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри окружностей, имел данную длину а.
    2.14. Через точку M внутри окружности проведите хорду так, чтобы разность ее отрезков равнялась данному отрезку.
    2.15. Даны окружность, ее хорда CD и две точки А и В окружности, лежащие по одну сторону от CD. На этой окружности постройте точку M так, чтобы хорды AM и BM высекали на CD отрезок PQ заданной длины а.
    2.16. Даны окружность, две ее точки А и В, секущая и точка M, лежащая на ней внутри окружности. Найдите на окружности такую точку С, чтобы прямые AC и BC высекали на данной секущей отрезок, делящийся в точке M пополам.
    2.17. Постройте окружность, проходящую через данные точки А и В и касающуюся данной прямой PQ.
    2.18. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из точки M, лежащей вне окружности, на данный диаметр окружности (или на его продолжение).
    2.19. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из точки M, лежащей на окружности, на данный диаметр окружности.
    2.20. Точки А и В лежат по разные стороны прямой l. Найдите на ней такую точку С, чтобы величина |AC − BC| была наибольшей.
    2.21. Дан выпуклый четырехугольник, не являющийся квадратом. Постройте описанный около него квадрат так, чтобы на каждой стороне квадрата лежала одна вершина четырехугольника.
    2.22. Дан отрезок длины 7. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины √7.
    2.23. Даны два отрезка: длины 1 и длины а. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины
.

Глава 3
Геометрические задачи в пространстве

    Прежде чем приступить к решению стереометрических задач, обратите внимание на следующие определения и теоремы.
    Признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорему о трех перпендикулярах нужно формулировать так:
    Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости.
    Если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна к прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна к этой прямой.
    Требование, чтобы прямые, лежащие в плоскости, и прямая, перпендикулярная к этим прямым, проходили через общую точку, излишне. Точно так же не следует требовать, чтобы наклонная, о которой идет речь в теореме о трех перпендикулярах, и прямая, лежащая в плоскости, проходили через общую точку.
    Расстоянием между двумя прямыми AB и CD называется наименьшее из расстояний между двумя точками, одна из которых принадлежит AB, а другая — CD.
    Две прямые называются параллельными, если через них можно провести плоскость и они не пересекаются.
    Две прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость.
    Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является длина отрезка, высекаемого ими на прямой, перпендикулярной к обеим скрещивающимся прямым.
    Последнее утверждение является теоремой, а не определением, и может быть доказано.
    Во всех последующих задачах рассматриваются только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые лежат по одну сторону от любой из его граней. Грани рассматриваемых многогранников являются выпуклыми многоугольниками.
    Призмой называется многогранник, в котором две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани пересекаются между собой по прямым, параллельным друг другу.
    Второе требование в этом определении нельзя заменить условием: «остальные грани — параллелограммы», так как иначе пришлось бы отнести к призмам многогранник, составленный из двух равных наклонных параллелепипедов, симметричных относительно плоскости их общего основания, крест, образованный из пяти равных кубиков и m. n.
    Если боковые ребра (грани) пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то высота пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания (вписанной в основание) окружности.
    Если боковые ребра и грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то пирамида правильная.
    Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость P равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью P.
    Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом  α, то Sоснования = Sбоковой поверхности ·cos α.
    Треугольную пирамиду называют тетраэдром.
    Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все ребра равны.
    В задачах рассматриваются только прямые круговые конусы и цилиндры.
    Конус (цилиндр) называется равносторонним, если его осевое сечение есть правильный треугольник (квадрат).

    3.1. Через точку, лежащую на ребре двугранного угла α (0 < α < π/2), проходят два луча, расположенных в различных полуплоскостях его. Один из этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ребром острый угол β. Найдите угол между данными лучами.
    3.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в некоторой плоскости P, а катеты составляют с этой плоскостью углы α и β. Определите угол между плоскостью P и плоскостью треугольника.
    3.3. Стороны угла α наклонены к плоскости P под углами β и γ. Найдите косинус угла, являющегося проекцией угла α на плоскость P.
    3.4. Даны четыре скрещивающиеся прямые: а, b, с и d. Постройте прямую, параллельную а и одинаково удаленную от остальных трех прямых.
    3.5. Равносторонний треугольник ABC со стороной, равной а, лежит на плоскости P. На перпендикуляре, восставленном из точки А к плоскости P, отложен отрезок АS = а. Найдите тангенс острого угла между прямыми AB и AC.
    3.6. В пространстве даны два луча Ax и By, не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол 90°; AB — их общий перпендикуляр. На лучах Ax и By взяты точки: M на Ax и P на By, такие, что 2АМ · ВР = AB². Докажите, что расстояние от середины O отрезка AB до прямой MP равно 1/2AB.
    3.7. Докажите, что четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
    3.8. На плоскости P лежит правильный треугольник ABC со стороной а. Из точек С и В восставлены перпендикуляры к плоскости P и на них отложены отрезки СЕ = а2 и BDa/√2 (с одной стороны от плоскости P). Найдите площадь треугольника DEA и косинус угла между плоскостью P и плоскостью этого треугольника.
    3.9. Найдите объем пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной а, если двугранные углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны α, β и γ.
    3.10. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник ABC с площадью S и основанием AB = а. Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы. Найдите угол, образованный третьей боковой гранью пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды равен V.
    3.11. В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна √3, а угол бокового ребра с плоскостью основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине. Найдите площадь боковой поверхности.
    3.12. В тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого тетраэдра. Найдите отношение объемов тетраэдров.
    3.13. Шар касается всех боковых граней пирамиды в точках пересечения их медиан, причем центр шара находится внутри трехгранного угла, образованного боковыми гранями пирамиды. Докажите, что пирамида правильная.
    3.14. Докажите, что в усеченной пирамиде сторона квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов, равновеликих основаниям пирамиды.
    3.15. В пирамиде ABCD дано BC = а, CA = b, AB = с, DA = а1, DB = b1, DC = с1. Найдите косинус острого угла между скрещивающимися ребрами AD и BC этой пирамиды.
    3.16. Плоскость, проходящая через одно из ребер правильного тетраэдра, делит его объем в отношении 3 : 5. Найдите тангенсы углов α и β, на которые эта плоскость делит двугранный угол тетраэдра.
    3.17. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через ребро основания проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол β. В каком отношении она делит площади тех боковых граней, которые она рассекает на два треугольника?
    3.18. Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. Кроме того, известно, что DB = b, DC = с, ∠ BDC = 90°. Найдите отношение площадей граней ADB и ADC.
    3.19. В треугольной пирамиде SABC все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках A и B равны α, AB = а. Определите объем пирамиды.
    3.20. Две грани треугольной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой AB. Двугранный угол при AB равен α. Найдите двугранный угол, у которого ребро есть катет.
    3.21. В треугольной пирамиде SABC два плоских угла ASB и BSC при вершине S равны α, а третий плоский угол ASC равен α/2. Ребро AS перпендикулярно к плоскости основания ABC. Найдите угол BAC.
    3.22. В тетраэдре ABCD ребро AB = 6, ребро CD = 8, а остальные ребра равны √74. Найдите радиус R описанного шара.
    3.23. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями равен α. Найдите высоту данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно а. Ответ приведите к виду, удобному для логарифмирования.
    3.24. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Одна боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной b (b ≠ а) и перпендикулярна к плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое является квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной основанию.
    3.25. Боковые ребра треугольной пирамиды равны а, b, с. Плоские углы при вершине прямые. В пирамиду вписан куб так, что одна его вершина находится в вершине пирамиды, а противоположная лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите ребро куба.
    3.26. В правильную треугольную пирамиду с высотой h вписан куб с ребром а так, что основание куба лежит на основании пирамиды. Найдите объем пирамиды.
    3.27. Трехгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными прямыми, пересечен плоскостью. Докажите, что полученный в сечении треугольник остроугольный.
    3.28. Найдите объем тетраэдра ABCD, если BC = AD = а, CA = DB = b, AB = DC = с.
    3.29. В пирамиде ABCD объем V = 48, AB = 12, CD = 8. Расстояние между AB и CD равно 6. Найдите угол между ребрами AB и CD.
    3.30. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 проведена плоскость A1BC. В образовавшуюся над этой плоскостью часть призмы вписан шар радиусом R. Найдите объем призмы.
    3.31. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер тетраэдра.
    3.32. В прямоугольный параллелепипед с ребрами а, b и с помещен куб так, что вершина куба O совпадает с вершиной параллелепипеда. Найдите угол между диагоналями куба и параллелепипеда, проведенными через вершину O.
    3.33. Сторона треугольника равна а. Разность прилегающих к ней углов равна φ. На треугольнике, как на основании, построена прямая призма. Через ее ребро, противоположное стороне а, проведено сечение площади S, делящее двугранный угол пополам. Найдите объем призмы.
    3.34. Найдите расстояние между двумя непересекающимися диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а.
    3.35. Ребро куба равно а. Сфера с центром в точке O делит три ребра куба, сходящихся в вершине А, пополам. Из одной такой точки деления K опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую через вершину А. Угол между этим перпендикуляром и радиусом сферы ОК делится ребром куба пополам. Найдите радиус сферы.
    3.36. Одна из сторон плоского четырехугольника равна √5/2. Его проекции на грани прямого двугранного угла — квадраты со стороной 1. Докажите, что четырехугольник лежит в плоскости, параллельной биссекторной плоскости двугранного угла, и найдите его периметр.
    3.37. Докажите, что объем правильной пирамиды меньше куба ее бокового ребра.
    3.38. Два шара, отношение радиусов которых равно p, касаются друг друга внешним образом. Они помещены внутри конуса так, что центры их находятся на оси конуса; при этом первый шар касается боковой поверхности конуса, а второй — боковой поверхности и основания конуса. Найдите отношение суммы площадей поверхностей этих шаров к площади полной поверхности конуса.
    3.39. Сфера вписана в прямой круговой конус с углом α при вершине осевого сечения. В эту сферу вписан конус с таким же углом при вершине осевого сечения. Найдите угол α, если отношение объема первого конуса к объему второго конуса равно а. При каких значениях а задача имеет решение?
    3.40. Дана правильная треугольная пирамида SABC (S — вершина) со стороной основания а и боковым ребром b. Одна сфера с центром в точке O1 касается плоскостей SAB и SAC в точках B и C, а другая сфера с центром в точке О2 касается плоскостей SAC и SBC в точках A и B. Найдите объем пирамиды SO1BO2.
    3.41. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найдите объем конуса, если радиусы шаров равны r.
    3.42. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной а. Ребро SD = h перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды лежит цилиндр так, что окружность одного его основания вписана в треугольник SCD, а окружность другого касается грани SAB. Найдите высоту цилиндра.
    3.43. В конус вписан куб так, что одно его ребро лежит на диаметре основания конуса, вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, а центр куба лежит на высоте конуса. Найдите отношение объема конуса к объему куба.
    3.44. В правильную усеченную треугольную пирамиду вписан шар радиусом r. Боковое ребро пирамиды равно стороне меньшего основания. Найдите объем пирамиды.
    3.45. Два шара радиусом r и один шар радиусом R (R > r) лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом. Найдите радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.
    3.46. Два равных шара касаются друг друга и граней двугранного угла. Третий шар меньшего радиуса также касается граней этого двугранного угла и обоих данных шаров. Дано отношение m радиуса меньшего шара к радиусу одного из равных шаров. Найдите величину α двугранного угла. Каким должно быть m, чтобы задача имела решение?
    3.47. На плоскости P стоит равносторонний конус, высота которого 10 см. Каждый из трех равных шаров, лежащих на плоскости P вне конуса, касается двух других шаров и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шаров.
    3.48. На плоскости уложены n равных конусов, имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой плоскости. Каждый конус касается двух других конусов. Найдите угол при вершине конуса в осевом сечении.
    3.49. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. На ребре AB, как на диаметре, построена сфера. Найдите радиус сферы, вписанной в трехгранный угол A тетраэдра, если известно, что она касается построенной сферы и ее центр лежит на высоте тетраэдра.
    3.50. Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной а, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислите объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен α.
    3.51. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного в него шара. Определите отношение объема конуса к объему шара.
    3.52. В основании произвольной (не обязательно прямой) призмы лежит правильный треугольник. Высота призмы равна H. Площади двух боковых граней равны S1, а площадь третьей равна S2. Найдите сторону основания. Исследуйте решение.
    3.53. Найдите способ, позволяющий вписать в куб сразу четыре пирамиды: две треугольные и две четырехугольные — так, чтобы их суммарный объем был наибольшим.

Глава 4
Геометрические задачи на проекционном чертеже

    Умение правильно построить сечение по трем точкам упрощает решение некоторых геометрических задач.
    Прежде чем приступать к решению задач этой главы, разберите несколько примеров на построение сечений и теней.

    Пример 1. Построить сечение куба, проходящее через точки PQ и R, расположенные так, как показано на рис. 4.1.
    Точки P и Q (и точки Q и R) можно соединить сразу, так как они лежат в одной из граней куба.
    Чтобы построить прямую, по которой плоскость сечения пересечет нижнее основание куба (эта прямая называется следом), нужно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одна точка нам дана — это точка R. Другую точку найдем, если продолжим до пересечения отрезки DC и PQ. Это можно сделать, так как указанные отрезки лежат в одной плоскости и, как видно из рис. 4.1, не параллельны. Полученная в результате точка S будет лежать в плоскости нижнего основания, так как вся прямая DC лежит в этой плоскости.
    Через точки R и S мы теперь проведем след, который оставит плоскость сечения на плоскости нижнего основания. В результате получим точку T. После того как точки T и P соединены, сечение построено.
    Несколько усложним задачу.

    Пример 2. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.2.
    В этом случае одной вспомогательной точки окажется недостаточно. Хотя из рис. 4.2 видно, что сечение не пересечет плоскость нижнего основания, нужно построить след плоскости сечения на нижнем основании. Точку S мы построим так же, как в примере 1, а вторую точку T найдем, продолжив отрезки RQ и AD. След ST пересечет прямую BC в точке U. Так как точки U и P лежат в плоскости сечения, то, соединив их, найдем точку V, принадлежащую сечению куба, которая позволит завершить построение.

    Пример 3. Построить сечение куба, проходящее через точку R, расположенную на передней грани куба, и точки P и Q — на ребрах задней его грани (рис. 4.3).
    И на этот раз нам поможет построение следа плоскости сечения на плоскости нижнего основания. Чтобы было ясно, что точка R лежит на плоскости передней грани куба, спроецируем ее на основание. Проекция прямой PR и прямая PR пересекутся в точке S, принадлежащей следу. Вторую точку U следа мы получим, продолжив до пересечения BC и PQ. След US пересечет куб по отрезку . Продолжим  TR до пересечения с DD1 в точке G. Чтобы закончить построение, получим еще одну вспомогательную точку F так, как это было сделано в первом примере.
    Построение теней осуществляется с помощью тех же самых приемов. При этом нужно в качестве вспомогательной точки использовать проекцию источника света на плоскость, на которую падает тень.
    Построим, например, тень, отбрасываемую вертикальной спичкой AB на плоскость P (концом В спичка упирается в плоскость), если источник света расположен в точке Q, а точка Q1 есть проекция точки Q на плоскость P (рис. 4.4, а). Проведем две прямые AQ и BQ1, пересекающиеся в точке А1. Отрезок А1В и будет тенью спички AB.
    Если спичка AB расположена между плоскостью P и источником света Q произвольным образом, то построение тени показано на рис. 4.4, б. Предполагается, что проекции точек А, В и Q (это точки СD и Q1 соответственно) на плоскость P заданы или могут быть найдены. Вместо того чтобы строить тень спички AB, мы строим тени А1С и В1D двух вертикальных спичек AC и ВD, а затем, соединив точки А1 и В1, получаем нужную тень. Проекция спички AB на плоскость P фактически задана. Это отрезок CD. Тенью, отбрасываемой этой спичкой на плоскость P, если источник света расположен в точке Q, будет отрезок А1В1.

    Пример 4. Источник света расположен над плоскостью нижнего основания куба в точке Q на высоте, вдвое превышающей ребро куба (рис. 4.5). Построить тень, отбрасываемую кубом на плоскость его нижнего основания.
    Разумеется, можно было бы построить отдельно тени, отбрасываемые каждым вертикальным ребром куба, а затем соединить соответствующие вершины. Однако здесь проще воспользоваться тем, что ребра верхнего основания куба параллельны плоскости нижнего основания. Следовательно, тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет квадрат. Поскольку QQ1 вдвое больше ребра куба, то сторона этого квадрата будет равна 2 а (докажите).
    Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень, отбрасываемую всем верхним основанием, а затем и всем кубом (см. рис. 4.5).

    4.1. Дан куб ABCDА1В1С1D1. Через вершину А, середину E ребра BC и центр O грани СС1D1D проходит секущая плоскость. Найдите отношение, в котором она делит объем куба.
    4.2. Дан куб ABCDА1В1С1D1 с ребром, равным единице. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А и середины F и G ребер В1С1 и С1D1.
    4.3. В кубе ABCDА1В1С1D1 проведена плоскость через вершину А, центр O1 верхнего основания А1В1С1D1 и центр Q боковой грани ВВ1С1С. Пусть E — точка пересечения секущей плоскости с ребром В1С1. Найдите отношение В1E к ЕС1.
    4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Сторона CD продолжена на расстояние MD = 2CD (MC = 3CD). Через точку M, вершину В и середину ребра SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей пирамиды, полученных при пересечении ее этой плоскостью.
    4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Через точки А, D и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
    4.6. Дан куб ABCDА1В1С1D1. На продолжении ребер AB, АА1, AD отложены соответственно отрезки ВР, А1QDR длины 1,5АВ. Через точки P, QR проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем куба?
    4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
    4.8. В треугольной призме ABCА1В1С1 боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В1 и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС1.
    4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА1В1С1D1 (ABCD и А1В1С1D1 — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА1 = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O1 — центр основания А1В1С1D1, F — точка, делящая отрезок O1O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС1 и диагонали ВD основания.
    4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.
    4.11. На плоскость Π под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.

Глава 5
Геометрические места

    5.1. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.
    5.2. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Найдите геометрическое место точек M, для каждой из которых AM · ВМ · cos ∠ AMB = ¾АВ².
    5.3. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Докажите, что геометрическое место точек M, удовлетворяющих условию 2АМ² + МВ² = АВ², есть окружность с диаметром AC, где точка С лежит на отрезке AB, причем AC/BC = 2.
    5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.
    5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.
    5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.

Глава 6
Свойства чисел. Делимость

    6.1. Докажите, что р² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.
    6.2. Докажите, что n³ + 2n при любом натуральном n делится на 3.
    6.3. Докажите, что число 3105 + 4105 делится на 49 и 181.
    6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?
    6.5. Делится ли число
 на 81?
    6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n4 + 4 является простым числом.
    6.7. Докажите, что
является целым числом при любом четном n.
    6.8. При каких целых значениях x дробь
 сократима?
    6.9. Найдите все пятизначные числа вида
 (x — цифра сотен, y — цифра единиц), которые делятся на 36.
    6.10. Найдите трехзначное число
 (а, b, с — его цифры), если четырехзначное число
 в три раза больше четырехзначного числа
.
    6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.
    6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.
    6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.
    6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения
    3x² − 16xy − 35y² + 17 = 0.
    6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению
    x² = 4y² + 20 025?
    6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x − 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.

Глава 7
Алгебраические преобразования

    Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.
    Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам
    1) а < x < b;
    2) а ≤ x ≤ b;
    3) а ≤ x < b;
    4) а < x ≤ b;
    5) x > а;
    6) x < а;
    7) x ≥ а;
    8) x ≤ а,
    где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].
    Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.
    По определению
    Для арифметического корня имеет место формула
    √а² = |а|.
    Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде
    (а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b);
    (а − b)³ = а³ − b³ − 3аb(а − b).
    Следующая формула называется формулой сложного радикала:
    (все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).
    По определению
    где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.
    Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,
 не имеет смысла, в то время как
.
    По определению

    По определению
    α0 = 1 при а ≠ 0.
    Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.
    Таким образом,
.
    Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:
    Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.
    Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.

    7.1. Упростите выражение
    7.2. Упростите выражение
    7.3. Упростите выражение
    После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x.
    7.4. Упростите выражение
    7.5. Упростите выражение
    где
.
    7.6. Вычислите значения выражения
    7.7. Преобразуйте выражение
    так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.
    7.8. Разложите на линейные относительно x, у, zu множители выражение
    (xy + zu)( − y² + z² − u²) + (xz + yu)( + у² − z² − u²).
    7.9. Докажите, что
    7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то
    7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство
    7.12. Докажите, что
    для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.
    7.13. Докажите, что из условия
    следует
    (а + b + с)³ = 27аbс.
    7.14. Квадратный трехчлен 24х² + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.

Глава 8
Делимость многочленов.
Теорема Безу. Целые уравнения

    Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство
    P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)
    является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).
    Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения
    а0хn + a1xn − 1 + ... + аn − 1x + аn = 0
    имеют место формулы:
   
,
   
,
   
.
    Для уравнения a0xn + a1xn − 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель qделителем коэффициента а0.
    В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.

    8.1. Решите уравнение
    (x − 4,5)4 + (x − 5,5)4 = 1.
    8.2. Решите уравнение
    (4x + 1)(12x − 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.
    8.3. Докажите, что уравнение
    x² − 3у² = 17
    не имеет решений в целых числах.
    8.4. Найдите все целые решения уравнения
    x² − 6 + 13у² = 100.
    8.5. Найдите остаток от деления многочлена x99 + x³ + 10x + 5 на многочлен x² + 1.
    8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения
    2x²у² + у² − 6x² − 12 = 0.
    8.7. В уравнении
    x4 + аx³ + bx² + 6x + 2 = 0
    один из корней равен √3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.
    8.8. При каких значениях а оба корня уравнения
    x² − (а + 1)x + а + 4 = 0
    отрицательны?
    8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения
    x³ + аx² + bx + с = 0
    образуют геометрическую прогрессию.
    8.10. Известно, что уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни α1, α2, α3. Выразите сумму α1² + α2² + α3² через p и q.
    8.11. При каких а и α трехчлен х³ + ax + 1 делится на двучлен x − α без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?
    8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x − 2 и x − 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x − 2)(x − 3).
    8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х4 + 1 делится на + рх + q.
    8.14. Докажите, что многочлен
    n + 1 − (2n + 1)хn + 1 + (2n + 1)хn − 1,
    где n — натуральное число, делится на (x − 1)³.
    8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен
    6х4 − 7х³ + рх² + 3х + 2
    делился без остатка на  − x + q.

Глава 9
Алгебраические уравнения и системы

    Равенства. Тождества. Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство.
    Примеры равенств:
    а² + b² = с², 3 = 3, 3 = 5,
    sin² x + cos² x = 1,
, sin x = 3.
    Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.
    Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а² + b² = с² при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin² x + cos² x = 1 истинно при всех действительных значениях x, а равенство sin x = 3 всегда ложно.
    Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно) перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство
 ложно при
, где k — любое целое число, так как для четных k не существует ctg x, а для нечетных k не существует tg x. Равенство
ложно при x = −1, так как его левая часть теряет смысл при этом значении x (обратите внимание, что правая часть существует всегда). Обе части равенства sin x = 3 всегда имеют смысл, однако это равенство всегда ложно.
    Для любого математического выражения можно указать множество систем (наборов) значений входящих в него букв, при которых это выражение существует, т. е. принимает некоторое числовое значение. Такое множество мы будем называть областью определения (областью существования) рассматриваемого математического выражения.
    Для выражения
 областью определения является числовая ось с «выколотой» точкой x = −1.
    Для выражения logу x найти область определения уже несколько сложнее. Во-первых, из числа x извлекается квадратный корень. Эта операция возможна, если x ≥ 0. Чтобы затем можно было найти логарифм от √x, необходимо √x > 0. Оба условия выполняются при x > 0. В основании логарифма может стоять лишь положительное число, отличное от единицы. Таким образом, получаем область определения: x > 0, у > 0, у ≠ 1.
    Два математических выражения называются тождественными, если
    1) их области определения совпадают;
    2) они принимают одинаковые числовые значения при подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений входящих в него букв, произвольно выбранного из области определения.
    Равенство, в котором правая и левая части являются тождественными выражениями, называется тождеством.
    Для обозначения тождественного равенства иногда используется символ ≡.
    Примеры тождеств: (а − b)² = а² − 2аb + b², sin² x + cos² x = 1,
    Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже является тождеством. В самом деле, область определения левой части не содержит ни одной точки, область определения правой части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку области определения правой и левой частей — пустые множества, то требования 1) и 2) в определении тождества удовлетворяются. Равенство
, как мы видели, истинно при всех x, кроме x = −1. Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено. Однако нарушение происходит только в одной точке.
    Введем понятие неабсолютного тождества.
    Пусть в нашем распоряжении есть два математических выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U их общую часть. Если на множестве U значения обоих математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно тождественны, а соответствующее равенство называют неабсолютным тождеством.
    Характерным примером неабсолютного тождества является соотношение
    lg ху = lg x + lg у.
    Область определения правой части: x > 0, у > 0, т. е. все точки плоскости, лежащие внутри I квадранта. Область определения левой части: x > 0, у > 0; x < 0, у < 0; это уже будут внутренние точки I и III квадрантов. Общая часть областей определения: x > 0, у > 0. На этой общей части приведенное соотношение превращается в истинное равенство.
    Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.
    Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.
    Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество.
Упражнения[2]
    Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного вами вывода.
    1. sin² x + cos² x = 1,
    2. tg x = sin x/cos x
    3. tg x = 1/ctg x
    4. sec x = 1/cos x
    5. sec x cos x = 1,
    6. sec x − 1/cos x = 0,
    7.
    8.
    9.
    10.
    11.
    12.
    13.
    14. lg xy = lg |x| + lg |y|,
    15. lg x² = 2 lg x,
    16. lg x² = 2 lg |x|.

    Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы говорим, что равенство
    аx² + bx + с = 0     (1)
    является уравнением относительно буквы x, то подразумеваем, что для фиксированных аb и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x, обращающие (1) в истинное числовое равенство.
    Другими словами, предполагают, что для букв аb и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x, которой обозначено неизвестное, остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.
    Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.
    Например, уравнение
    x2x = 1       (2)
    имеет корни x1 = 1 и x2 = −1, в то время как функция x2x определена только при положительных x.
    Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = −1 слева получим выражение (−1)−2, которое имеет смысл и равно 1.
    Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.
    Пусть x, у, z, ... — неизвестные в уравнении
    f(x, у, z, ...) = 0.       (3)
    Набор значений неизвестных[3]
    называется решением уравнения (3), если
    f(а, b, с, ...) = 0         (3′)
    является истинным числовым равенством.
    Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем этого уравнения.
    Корнем уравнения 3x² + 2x − 1 = 0 является число x = −1, решением уравнения 2у² − 3 + x² = 0 является система чисел
    Решить уравнение — значит, найти все его решения или доказать, что оно не имеет решений.
    Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, любое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и, обратно, любое решение второго уравнения является также решением первого уравнения.
    Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с определенной областью чисел. Так, уравнения x − 1 = 0 и (x − 1)(x² − 3) = 0 равносильны в области целых чисел и неравносильны в области действительных чисел.
    Говорят, что второе уравнение является следствием первого, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
    В процессе решения уравнение можно заменить любым равносильным ему уравнением. Легко убедиться в том, что замена входящего в уравнение математического выражения тождественным[4] приводит к равносильному уравнению.
    Во многих случаях удобно заменить данное уравнение его следствием. В результате такой замены могут появиться посторонние корни, т. е. такие числа, которые являются корнями следствия, но не удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы отсеять посторонние корни, следует сделать проверку всех найденных значений неизвестного.
    Замена входящего в уравнение выражения неабсолютно тождественным может нарушить равносильность. В результате у уравнения могут появиться посторонние корни, а некоторые корни могут быть потеряны.
    Например, применение неабсолютного тождества[5]
    log x + log у = log xy
    приводит к следствию, в то время как применение этого же тождества справа налево
    log xy = log x + log у
    может повлечь за собой потерю решений. В первом случае в результате замены log x + log у на log xy мы можем приобрести решения, лежащие в области x < 0, у < 0. Во втором случае решения из той же самой области могут быть потеряны.
    При решении большинства уравнений угроза приобретения посторонних корней не должна нас пугать, так как в наших руках есть такое надежное средство, как проверка. Гораздо более опасной является перспектива потери корней.
    Избежать потери корней можно, если вместо неабсолютных тождеств, сужающих область определения, пользоваться неабсолютными тождествами, расширяющими область определения уравнения.
    Вернемся к рассмотренному только что примеру с суммой логарифмов. Когда при решении уравнения приходится потенцировать, то неабсолютное тождество
    log x + log у = log
    не приводит к потере корней. Если же по ходу преобразований возникла необходимость прологарифмировать произведение, то нужно воспользоваться другим неабсолютным тождеством
    log = log |x| + log |у|,
    применение которого может лишь расширить область определения уравнения.
    Есть второй прием, позволяющий избежать потери решений, который мы поясним на примере уравнения: sin 2x + 7 cos 2x + 7 = 0. Воспользуемся формулами, позволяющими выразить sin 2x и cos 2x через tg x. Получим
    Приведя к общему знаменателю и отбросив знаменатель, который всегда отличен от нуля, получим простое уравнение
    tg x = −7,
    откуда x = −arctg 7 + πk, где k — любое целое число.
    Хотя все произведенные преобразования кажутся «законными», мы легко убедимся в том, что целая серия корней x = π/2 + kπ потеряна. Достаточно подставить эти значения неизвестного в исходное уравнение.
    Корни были потеряны в результате применения неабсолютных тождеств
    левые части которых существуют всегда, а правые теряют смысл
    именно при x = π/2 + kπ.
    Если по каким-то причинам мы не могли избежать применения неабсолютных тождеств, грозящих потерей корней, то нам не остается ничего иного, как проверить те значения неизвестного, которые оказались исключенными из области определения входящих в уравнение выражений. В нашем примере, как и в большинстве тригонометрических уравнений, это нетрудно сделать.
    Наконец, отметим такой важный момент при решении уравнений, как правильное использование условий.
    Уравнение
    lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 − x²) − 2
    удобнее всего решать, преобразовав lg (1 − x²) в сумму логарифмов. Чтобы оградить себя от возможной потери корней, мы должны написать
    lg (1 − x²) = lg |1 + x| + lg |1 − x|.
    Однако подобная осторожность в этом примере является излишней. Поскольку в уравнение наряду с выражением lg (1 − x²) входят lg (1 + x) и lg (1 − x), то 1 + x и 1 − x должны быть положительными, чтобы левая часть уравнения имела смысл. Поэтому вместо lg |1 + x| и lg |1 − x| можно написать lg (1 + x) и lg (1 − x). Таким образом, данное уравнение принимает вид
    lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 + x) + lg (1 − x) − 2.
    Приведя подобные члены, получим
    2 lg (1 − x) = −2,
    откуда x = 0,9 — единственный корень данного уравнения.
    На этом примере мы видим, что правильное использование условия позволяет быстрее достичь цели, чем в случае чисто формальных преобразований.
    Однако достаточно ли обоснованным было приведенное выше решение? Чтобы убедиться в этом, решите самостоятельно такое уравнение
    lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 − x²) + 2.
    Оно отличается от предыдущего лишь знаком последнего члена. Поэтому, повторив все приведенные только что рассуждения, получим
    2 lg (1 − x)= 2,
    откуда x = −9. Подставив это значение x в исходное уравнение, убеждаемся в том, что нами найден посторонний корень. Произошло это потому, что уравнения
    lg (1 + x) + 3 lg (1 − x) = lg (1 + x) + lg (1 − x) + 2
    и
    2 lg (1 − x) = 2
    неравносильны. Равносильность нарушилась в результате уничтожения в правой и левой частях уравнения члена lg (1 + x), который существенно ограничивал область определения уравнения. Таким образом, проверка здесь является необходимой частью решения.
    Разобранный пример нередко предлагают решать так. Найдем область определения уравнения:
    Теперь будем применять к уравнению те преобразования, которые не могут привести к потере корней:
    lg (1 + x) + lg (1 − x)³ = lg (1 − x²) + lg 100,
    lg [(1 + x)(1 − x)³] = lg 100(1 − x²),
    (1 + x)(1 − x)³ = 100(1 − x²).
    Решая последнее уравнение, найдем х1 = 1, х2 = −1, х3 = −9, х4 = 11. Так как все четыре числа не попали в интервал −1 < x < 1, то исходное уравнение не имеет корней.
    Для данного уравнения такой метод решения оказывается верным, так как позволяет отбросить все найденные значения x. Однако основан он на ошибочном убеждении, что в процессе преобразований могут быть приобретены лишь те посторонние корни, которые не попадают в область определения исходного уравнения.
    Приведем два примера.
    Вначале рассмотрим уравнение
    arcsin x = π/3 + arcsin x/2.
    Его область определения — отрезок −1 ≤ x ≤ 1. Возьмем синусы от правой и левой частей уравнения, в результате чего получим следствие
    sin (arcsin x) = sin (π/3 + arcsin x/2), т. е.
    Решая последнее уравнение, получим х1 = −1, х2 = 1. Оба значения x принадлежат области определения исходного уравнения, однако х2 = −1 — посторонний корень, в чем легко убедиться проверкой.
    Решим теперь в области действительных чисел уравнение
    Областью определения этого уравнения является вся числовая ось. Возведем данное уравнение в куб:

    В последнее уравнение входит выражение
 являющееся левой частью данного уравнения. Заменяем его правой частью этого уравнения. Получим
    Возведя в куб, получим
    (x + 1)(3x + 1)(x − 1) = −(x + 1)³,
    откуда x1 = −1, x2 = 0.
    Проверка убеждает нас в том, что корень x2 = 0 является посторонним. Он появился в результате замены левой части данного уравнения на не равную ей тождественно правую часть.
    Приведенные примеры свидетельствуют о том, что нахождение области определения уравнения (или, как иногда говорят, области допустимых значений — ОДЗ) не гарантирует нас от появления посторонних корней, т. е. не избавляет от необходимости делать проверку полученных в результате решения корней.
    Это не означает, что находить область определения всегда бессмысленно. Можно привести много примеров, когда знание области определения существенно упрощает решение.
    Что же касается проверки, то она оказывается излишней только в тех случаях, когда исследована эквивалентность применявшихся в процессе решения преобразований.
    Для этого необходимо выяснить, при каких преобразованиях мы получаем следствие данного уравнения, а в каких случаях нам грозит потеря корней.
    Посмотрим на примере, как исследуется равносильность двух уравнений. Имеет место следующая теорема.
    Теорема 1. Если в уравнении произвести уничтожение двух подобным членов, то получится следствие данного уравнения.
    Другими словами, если уравнение
    f(x) + φ(x) − φ(x) = 0        (4)
    заменить уравнением
    f(x) = 0,          (5)
    то потери корней не произойдет, а приобретение корней может произойти.
    Сначала докажем, что не произойдет потери корней, т. е. что любой корень x = с уравнения (4) является корнем уравнения (5). Если x = с — корень уравнения (4), то
    f(с) + φ(c) − φ(c) = 0          (4′)
    — истинное числовое равенство, где f(с) и φ(с) — числа. Оно не нарушится в результате прибавления и последующего вычитания числа φ(c).
    Таким образом,
    f(с) = 0           (5′)
    — истинное числовое равенство, т. е. x = с является также и корнем уравнения (5).
    Остается убедиться в том, что уравнение (5) может иметь корни, посторонние для уравнения (4). Чтобы доказать это, достаточно привести пример. Уравнение
    cos x + tg x − tg x = 0         (4′′)
    после уничтожения подобных членов принимает вид
    cos x = 0.          (5′′)
    Корнями уравнения (5′′) будут числа x = π/2 + kπ. Но ни одно из них не удовлетворяет уравнению (4′′), так как tg x перестает существовать, когда cos x = 0.
    Итак, теорема доказана.
    Несколько уравнений могут образовать систему или совокупность.
    Говорят о системе уравнений, если требуется найти все решения, общие для всех уравнений, входящих в систему.
    Если же нужно найти все такие решения, которые удовлетворяют хотя бы одному из нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют совокупность.
    Систему уравнений обычно записывают в столбик и ставят сбоку фигурную скобку — знак системы; совокупность уравнений, как правило, записывается в строку. Если же совокупность уравнений удобнее записать в столбик, то слева ставят квадратную скобку — знак совокупности.
    Если мы рассмотрим совокупность двух уравнений:
    x² − x − 2 = 0 и x² − 2x − 3 = 0,
    то корни первого: x1 = 2, x2 = −1 нужно объединить с корнями второго: x1 = 3, x2 = −1. Получим решение совокупности:
    x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3.
    Если же мы рассмотрим систему
    то из корней первого уравнения нужно выбрать те, которые удовлетворяют и второму уравнению системы. Получим только одно решение системы: x = −1.
    Уравнение
    f(x) · φ(x) = 0       (6)
    называется распадающимся.
    Теорема 2. Уравнение (6) равносильно совокупности двух систем:
    (7)
    Доказательство. Если x = а — корень уравнения (6), то f(а) и φ(а) существуют и либо f(а) = 0, либо φ(а) = 0 (случай, когда оба сомножителя одновременно равны нулю нами из рассмотрения не исключен). Следовательно, одна из систем (7) удовлетворяется при x = а.
    Пусть теперь x = а — корень совокупности (7). Если при x = а удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и в другом случае f(x) · φ(x) = 0, т. е. x = а — корень уравнения (6).

Упражнения
    Докажите следующие теоремы о равносильности уравнений.
    17. Если к обеим частям уравнения
    f(x) = φ(x)
    прибавить выражение ψ(x), то в случае, когда ψ(x) имеет смысл при всяком x, получится равносильное уравнение, в противном случае могут быть потеряны корни.
    18. Уравнения
    f(x) + ψ(x) − ψ(x) = φ(x)
    и
    f(x) = φ(x)
    в случае, когда ψ(x) имеет смысл при всяком x, равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.
    19. Если в уравнении
    (8)
    отбросить знаменатель, то получится уравнение
    f(x) = ψ(x),
    являющееся следствием данного уравнения.
    19а. Уравнение (8) равносильно системе
    (8а)
    20. Если обе части уравнения f(x) = φ(x) возвести в квадрат, то полученное уравнение
    [f(x)]² = [φ(x)]²           (9)
    является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:
    f(x) = φ(x),    f(x) = −φ(x).
    21. Чему равносильна система
    22. Докажите, что следствием уравнения
    является уравнение
    при условии, что

    Найдите действительные корни уравнений:
    9.1. |x| − 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.
    9.2. |x² − 9| + |x² − 4| = 5.
    9.3.
    9.4.
    9.5.
    9.6.
    9.7.
 а и b — действительные числа.
    9.8.
 а — действительное число.
    9.9.
 а — действительное число.
    9.10. Найдите действительные решения уравнения
    |x² − 3 · x/2 − 1| = −x² − 4x + β
    и определите, при каких значениях β оно имеет единственное[6] действительное решение.
    9.11. Решите систему
    9.12. Найдите все действительные значения k, при которых решение системы
    удовлетворяет условию: x > 1/k, у > 0.
    9.13. В области действительных чисел решите систему
    9.14. При каких значениях а система
    имеет действительные решения? Найдите эти решения.

    Решите системы:
    9.15.
    9.16.
    9.17.
    9.18.
    9.19. Числа x, у и z удовлетворяют системе уравнений
    где а, b, с не равны друг другу. Найдите x³ + у³ + z³.

    Решите системы:
    9.20.
 
    9.21.
 
    9.22.
 
    9.23.
    9.24. Найдите все действительные решения системы
    9.25. Найдите одно решение системы

    Решите системы в области действительных чисел:
    9.26.
    9.27.
    9.28.
    9.29.
 если а > b > 0 и а + b < 1.
    9.30. Найдите все значения а и b, при которых система
    имеет единственное решение (а, b, x, у — действительные числа).
    9.31. Найдите все значения а, при которых система
    имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению x + у = 0 (а, x, у — действительные числа).
    9.32. Найдите все значения а, при которых система
    имеет хотя бы одно решение для любого значения b (а, b, x, у — действительные числа).
    9.33. Найдите все значения а и b, при которых система уравнений
    имеет единственное решение (x, у, а, b — действительные числа, x > 0).
    9.34. Решите систему
    в области действительных чисел.
    9.35. Решите уравнение
    |6 − |x − 3| − |x + 1|| − аx − 5а = 4
    при всех действительных значениях параметра а.
    9.36. При всех действительных а решите уравнение
    9.37. Решите уравнение
    9.38. Решите систему уравнений

Глава 10
Алгебраические неравенства 

    О доказательстве неравенств. Доказать неравенство можно следующими способами, которые мы продемонстрируем на примере неравенства
    1. От противного. Предположим противное:
    Тогда
    что невозможно.
    2. По определению неравенства. Составим разность левой и правой частей и определим ее знак:
    3. Вывести из ранее доказанного или очевидного неравенства. Мы знаем, что
    откуда
    Обратите внимание, что следующее «доказательство» неравенства является логически некорректным.
    Если
 и, следовательно,
    что очевидно.
    Некорректность приведенных рассуждений состоит в том, что в качестве исходного пункта взято доказываемое неравенство. Таким образом установлено, что если
то (√а − √b)² ≥ 0. Однако верное следствие может быть получено из ложной посылки. Если те же рассуждения провести в обратном порядке, то мы получим корректное доказательство, аналогичное тому, которое приведено выше под номером 3).
    Решение неравенств. Система, совокупность. Решить неравенство — значит, найти все системы значений входящих в него неизвестных, при которых неравенство истинно, или доказать, что таких систем значений нет.
    Если два или несколько неравенств должны удовлетворяться одновременно, то говорят, что они образуют систему.
    Если достаточно, чтобы удовлетворялось одно из двух или нескольких неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют совокупность.
    Неравенства, образующие систему, записывают одно под другим, а сбоку ставят фигурную скобку — знак системы.
    Например,
    Решение этой системы показано на рис. 10.1 двойной штриховкой. Эта же система неравенств может быть записана так: 3 < x < 7.
    Совокупность неравенств записывают либо в строку, либо в столбец и ставят слева квадратную скобку. Это позволяет не путать совокупность неравенств с системой. Запись
    означает, что число x должно лежать на любом из заштрихованных на рис. 10.2 интервалов.
    Решить систему, состоящую из нескольких совокупностей неравенств, — значит, найти все значения неизвестного, удовлетворяющие всем входящим в систему совокупностям.

    Пример 1. Решить систему совокупностей неравенств
    Решение первой совокупности изображено на рис. 10.3 с помощью двух прямоугольников (левая сторона одного из них бесконечно отодвинута влево), расположенных над точками, удовлетворяющими этой совокупности. Аналогично на этом же рисунке изображены решения второй и третьей совокупностей.
    Чтобы избежать путаницы, мы для разных совокупностей строим прямоугольники различной высоты. Особо внимательно нужно следить за концами интервалов: если неравенство строгое, то будем рисовать в конце интервала светлый кружок, а если нестрогое, то — черный кружок. Специально разберите случаи, когда одна и та же точка оказывается и светлой, и темной — для системы и совокупности неравенств.
    Точки числовой оси, над которыми расположены три прямоугольника разной высоты (см. рис. 10.3), дают решение системы: 1,5 < x ≤ 2.
Упражнения[7]
    1. Что произойдет с совокупностью неравенств, если к ней добавить неравенство, не имеющее решений?
    2. Что произойдет с системой неравенств, если к ней добавить неравенство, не имеющее решений?
    3. Решите систему двух совокупностей неравенств
    Метод интервалов. Рассмотрим неравенства типа
    (1)
    Начнем предварительно с неравенства (x − 2)(x − 3) > 0. Его нередко решают следующим образом. Произведение двух множителей положительно тогда и только тогда, когда оба множителя одного знака, т. е. данное неравенство равносильно совокупности двух систем
    Чтобы убедиться в нерациональности такого способа решения, достаточно применить его к решению неравенства, левая часть которого содержит, например, десять множителей
    (x − 1)(x − 2)...(x − 10) > 0.         (2)
    Несложный подсчет показывает, что в этом случае пришлось бы рассматривать совокупность, состоящую из 512 систем по 10 неравенств в каждой системе.
    Решим неравенство (2) с помощью более рационального приема, называемого методом интервалов. Отметим на числовой оси все корни многочлена, стоящего в левой части неравенства (рис. 10.4). Когда x расположен правее самого большого корня (x > 10), многочлен будет положительным, так как каждый множитель положителен. Если двигаться по оси в отрицательном направлении, то при переходе через точку x = 10 множитель x − 10 поменяет знак. В произведении появится один отрицательный множитель, а девять останутся положительными, в результате чего многочлен поменяет знак, так как появится дополнительный отрицательный множитель. Далее перемена знака произведения произойдет при переходе через каждую из обозначенных на рис. 10.4 точек. (Области, где многочлен положителен, отмечены на рис. 10.4 дугой сверху, а области, где он отрицателен, — дугой снизу.) Теперь легко записать решение неравенства (2):
    x < 1,   2 < x < 3,   4 < x < 5,   6 < x < 7,   8 < x < 9,   x > 10.
    Приемы, позволяющие решать более сложные неравенства типа (1), станут понятны, если вы разберете примеры 2 и 3 и следующие за ними упражнения.
    Пример 2. Решить неравенство (x + 3)(2x + 2)(x − 4)²(5 − x) > 0.
    Перепишем неравенство в виде
    (x + 3)(x + 1)(x − 4)²(x − 5) < 0,
    где в каждой скобке стоит двучлен с коэффициентом 1 при x. Множитель (x − 4)² всегда неотрицателен и только в точке x = 4 обращается в нуль. Поэтому его влияние на решение неравенства
    ограничивается тем, что он исключает точку x = 4 (рис. 10.5). Остается проследить чередование знаков в неравенстве
    (x + 3)(x + 1)(x − 5) < 0.
    Ответ. x < −3,  −1 < x < 4,   4 < x < 5.
    Пример 3. Решить неравенство
    (3)
    Данное неравенство не удовлетворяется в тех точках, где множители, стоящие в знаменателе, обращаются в нуль (x = 4, x = 2). Поэтому исключим эти точки из дальнейшего рассмотрения, обозначив их на рис. 10.6 светлыми кружками.
    В точках же, в которых обращается в нуль числитель (x = −3, x = −1, x = 5), неравенство превращается в равенство, т. е. эти точки должны войти в решение неравенства (3). Отметим их на рисунке черными кружками[8]).
    Множители (x + 3)² и (x − 4)², не меняющие знака на всей числовой оси, можно опустить, так как их влияние уже учтено. Во всех остальных точках неравенство (3) равносильно такому:
    (x + 1)(x − 5)(x − 2) < 0.
    Ответ. x ≤ −1,  2 < x < 4,  4 < x ≤ 5.
Упражнения
    Решите неравенства:
    4. (5 − 2х)(3 − x)³(x − 4)² < 0.
    5. 
    Иррациональные неравенства. Решая уравнения, мы можем получать следствия данного уравнения и закончить решение проверкой, которая отсеивает посторонние корни. При решении же неравенств обычно получаются целые интервалы решений, что сильно усложняет проверку. Поэтому неравенства преобразовывают так, чтобы не нарушалась равносильность.
    Начнем с иррациональных неравенств.
    Пример 4. Решить неравенство
    (4)
    Нередко предлагают такое «решение»:
    x² − 55х + 250 < (x − 14)²,
    −55х + 250 < −28х + 196,
    x > 2,
    которое обосновывают следующим образом: «Левая часть меньше правой, но неотрицательна, так как мы имеем дело с арифметическим корнем. Следовательно, обе части данного неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат, не нарушая равносильности неравенства».
    Чтобы убедиться, что неравенство решено неверно, подставим в данное неравенство, например, x = 10.
    Проанализируем ход приведенных здесь рассуждений. Они доказывают, что если неравенство (4) удовлетворяется при некоторых x, то обе части его можно возвести в квадрат, и тогда x > 2. Однако отсюда не следует обратное, что исходное неравенство удовлетворяется при всех x > 2.
    Присутствие в неравенстве (4) квадратного корня накладывало на неизвестное определенные ограничения, которые оказались разрушенными после возведения неравенства (4) в квадрат.
    Трехчлен x² − 55х + 250 вначале стоял под знаком квадратного корня, а потому должен был быть неотрицательным. После возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот, в этом случае неравенство x² − 55х + 250 < (x − 14)² удовлетворяется наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать меньше нуля.
    Чтобы подкоренное выражение оставалось неотрицательным, мы должны добавить к полученному после возведения в квадрат неравенству требование x² − 55x + 250 ≥ 0, т. е. x ≤ 5, x ≥ 50. Из полупрямой x > 2 оказались выделенными две ее части: 2 < x ≤ 5, x ≥ 50.
    Но и теперь еще не все. Достаточно подставить в исходное неравенство значение x = 4, и мы убедимся, что оно не удовлетворяется. Дело в том, что при возведении в квадрат мы устранили еще одно ограничение, которое присутствовало в неравенстве (4). В левой части первоначального неравенства стоит квадратный корень, т. е. неотрицательное число. Чтобы это неравенство удовлетворялось, правая его часть x − 14 должна быть больше нуля. Итак, надо добавить ограничение x − 14 > 0, которое присутствовало в исходном неравенстве и оказалось разрушенным после возведения в квадрат.
    Таким образом, после возведения данного неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничений, которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно было заменить системой
    решая которую мы нашли бы, что
    т. е. x ≥ 50.
Упражнения
    В каждом из неравенств 6—9 освободитесь от иррациональности, не нарушая равносильности:
    6.
    7.
    8.
    9.
    Показательные и логарифмические неравенства. При решении показательных и логарифмических неравенств пользуются следующими свойствами:
    1. Неравенство f(x)φ(x) > 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:
    или системе неравенств
    1а. Неравенство f(x)φ(x) < 1, где f(x) > 0, равносильно совокупности двух систем неравенств:
    или системе неравенств
    2. Неравенство logf(x)φ(x) > 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:
    или системе неравенств
    2а. Неравенство  logf(x)φ(x) < 0 равносильно совокупности двух систем неравенств:
    или системе неравенств
    Решения неравенств  f(x)φ(x) < 1 и  f(x)φ(x) > 1 в предположении, что допускаются отрицательные значения f(x), разобраны в задачах 10.29, 10.30, 10.32.
    Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень больше единицы, если основание и показатель степени одинаково расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е. основание правее единицы и показатель правее нуля или основание левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля, если основание и логарифмируемое выражение одинаково расположены по отношению к единице. Если расположение элементов, о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а логарифм меньше нуля.

    10.1. Докажите, что если а + b = 2, где а и b — действительные числа, то а4 + b4 ≥ 2.
    10.2. Докажите, что
    (1 + a1)(1 + а2)...(1 + аn) ≥ 2n,
    если а1, а2, ..., аn, аn — положительные числа и а1а2...аn = 1.
    10.3. Дано а + b = с, где а, b, с — положительные числа. Докажите, что
    а⅔ + b⅔ > с⅔ .
    10.4. Докажите, что −x³ + x² ≤ ¼, если 0 ≤ x ≤ 1.
    10.5. Докажите неравенство
    при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.
    10.6. Докажите неравенство
    (а + b)n < 2n(аn + bn),
    если а > 0, b > 0, n — натуральное число.
    10.7. Докажите, что при а > b > 0 и pq где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
    10.8. Докажите, что
 при n > 1.
    10.9. Докажите неравенство
    a/b + b/c + c/a > 3
    где аb и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
    10.10. Докажите, что
    а² + b² + с² ≥ 4S√3,
    где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.
    10.11. Докажите, что
    (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 6) + 10 ≥ 1
    при всех действительных значениях x.
    10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:
    x + у + z = xуz     и     x² = уz,
    то
    x² ≥ 3.
    10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам
    x + у + z = 5,        уz + zx + xу = 8,
    то
    1 ≤ x ≤ 7/3,      1 ≤ y ≤ 7/3,        1 ≤ x ≤ 7/3. [9]
    10.14. Решите неравенство
    аx² + x + 1 > 0,
    где а ≠ 0 — произвольное действительное число.
    10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x² + mx + (m² + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.
    10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x² + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.
    10.17. При каких значениях к корни многочлена
    k²x² + kx − 2
    будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
    10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство
    тx² − 4x + 3m + 1 > 0
    удовлетворяется при всех положительных значениях x.

    Решите неравенства:
    10.19. |x² − 2x − 3| < 3x − 3.
    10.20. |x − 3| > |x + 2|.
    10.21.
    10.22.
    10.23.
    10.24.
    10.25.
    10.26.
    10.27. 4x ≤ 3 · 2√x + x + 4√x+1.
    10.28. 4x² + 3√x +1 + x · 3√x < 2x² · 3√x + 2x + 6.
    10.29[10].
    Решите неравенства:
    10.30. (4x² + 12x + 10)|x³ − 5x + 2| ≥ (4x² + 12x + 10)x − 2.
    10.31. xlogаx +1 > а²x.
    10.32[11].
    10.33.
    10.34.
    10.35.
    10.36. log2 (2x − 1) log½ (2x + 1 − 2) > −2.
    10.37. log|x + 6| 2 · log2(x² − x − 2) ≥ 1.
    10.38.
    10.39. logkxx + logx(kx²) > 0, где 0 < k < 1.
    10.40. logx[log2(4x − 6)] ≤ 1.
    10.41.
    10.42.
    10.43. |√2 |x| − 1| · 1ох2 (2 − 2x²) > 1.
    10.44.
    10.45. logx² − 1 (3x − 1) < logx² − 1 x².
    10.46.